Övre funktion

Arean vi söker:

$A = {\int }_0^a\sin xdx+{\int }_a^{(\mathrm{\pi }+\mathrm{a})/2}\sin x - \sin (x-a)dx = 1$

Macilaci skrev:

Arean vi söker:

$A = {\int }_0^a\sin xdx+{\int }_a^{(\mathrm{\pi }+\mathrm{a})/2}\sin x - \sin (x-a)dx = 1$

förstår inte riktigt vad de här kommer ifrån, vi söker väl arean för båda delar och ska lösa ekvationen där A1 = A2

Ja, precis.

A₁=A₂ och A₁+A₂=2  => A₁ = A₂ = 1

Och vi kan beräkna A₁ i två delar. Mellan 0 och a kan vi strunta i den andra kurvan.

Mellan a och skärningspunkten behöver vi integrera skillnaden.

Var är skärningspunkten? Den är halvvägs mellan a och pi. (Pga symmetri.)

Macilaci skrev:

Ja, precis.

A₁=A₂ och A₁+A₂=2  => A₁ = A₂ = 1

Och vi kan beräkna A₁ i två delar. Mellan 0 och a kan vi strunta i den andra kurvan.

Mellan a och skärningspunkten behöver vi integrera skillnaden.

Var är skärningspunkten? Den är halvvägs mellan a och pi. (Pga symmetri.)

Fattar inte riktigt hur vi kommer fram till a1=a2=1 vi vet ju inte att de är lika stora vi ska bestämma ett värde för a så att de blir lika stora 

Jo, vi vet att de är lika stora. Det står i uppgiften.

Varför vill du kasta bort informationen att $A_1+A_2={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sin xdx$ ?

Macilaci skrev:

Jo, vi vet att de är lika stora. Det står i uppgiften.

Varför vill du kasta bort informationen att $A_1+A_2={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\sin xdx$ ?

Så varför kan vi inte bara räkna integralen från a till pi? 

$$\begin{gathered} {\int }_a^{\mathrm{\pi }}övre funktonen- undre dx \\ Gissar på att \sin (x-a)\hspace{0.17em}är övre funktionen alltså: \\ {\int }_a^{\mathrm{\pi }}\sin (x-a) -\sin \left(x\right)dx =1 \end{gathered}$$

Redan namngivingen är problematisk.
(Det är talande att du kan bara gissa.)

sin(x-a) är övre funktionen mellan skärningspunkten och pi. Mellan a och skärningspunkten är det den undre funktionen.

Beräkningen du föreslår ( ${\int }_a^{\mathrm{\pi }}\sin (x-a) - \sin \left(x\right)dx$ ) ger 0 och inte arean av det skuggade området. (Detta är lätt att inse pga symmetrin.)

Arean av det ljusare skuggade området kan beräknas så här:

A₂ = ${\int }_a^{\frac{\mathrm{\pi }+\mathrm{a}}{2}}\sin (x-a)dx + {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }+\mathrm{a}}{2}}^{\mathrm{\pi }}\sin xdx$

Vad är det du vill räkna ut, A₁ eller A₂ eller något annat?

Gissar på att det är A₂ med tanke på den undre gränsen. Då är funktionen y = sin(x-a) överkurva under en del av intervallet, men vid ett visst värde på x är det istället sin(x) som är överkurva. Du måste alltsådela upp intervallet i två delar. Titta på bilden!

Macilaci skrev:

Redan namngivingen är problematisk.
(Det är talande att du kan bara gissa.)

sin(x-a) är övre funktionen mellan skärningspunkten och pi. Mellan a och skärningspunkten är det den undre funktionen.

Beräkningen du föreslår ( ${\int }_a^{\mathrm{\pi }}\sin (x-a) - \sin \left(x\right)dx$ ) ger 0 och inte arean av det skuggade området. (Detta är lätt att inse pga symmetrin.)

Arean av det ljusare skuggade området kan beräknas så här:

A₂ = ${\int }_a^{\frac{\mathrm{\pi }+\mathrm{a}}{2}}\sin (x-a)dx + {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }+\mathrm{a}}{2}}^{\mathrm{\pi }}\sin xdx$

yes, det är jag med på! Dock hur ser man att arean blir 0 pga symmetrin? Är det inte så man räknar ut arean mellan två grafer? 

Nej. Skillnaden är ibland positiv, ibland negativ. Men arean är alltid positiv.
Så man måste ta det absoluta värdet av skillnaden.