Övningsprov

Småvinkel-approximationen: $\sin \left(x\right)\approx x$

Hmm det blir fortfarande noll om jag ersätter med x :/

dajamanté skrev:

Hmm det blir fortfarande noll om jag ersätter med x :/

 $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin \left(x^2\right) \\ f´\left(x\right)=2x\cos \left(x^2\right) \end{gathered}$$

Åsså lite Taylor på dä?

Låt mig testa:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\sin }^{2}x \\ f\text{'}\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(x^2\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=-2x\sin \left(x^2\right) \end{gathered}$$

$\underset{x->0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x-\sin \left(x^2\right)}{1-\sin \left(x^2\right)}$=$\underset{x->0}{lim}\frac{f}{g}=\underset{x->0}{lim}\frac{{\displaystyle f\text{'}}}{{\displaystyle g\text{'}}}=\frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{-2x\sin \left(x^2\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{x}}}{{\displaystyle \frac{-2x\sin \left(x^2\right)}{x}}}$ detta går ingenståns.

Med Taylor menar du det vi diskuterade i morse :)? 

Jag är osäker att jag kan det med $x^2$.

dajamanté skrev:

Låt mig testa:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\sin }^{2}x \\ f\text{'}\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(x^2\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=-2x\sin \left(x^2\right) \end{gathered}$$

$\underset{x->0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x-\sin \left(x^2\right)}{1-\sin \left(x^2\right)}$=$\underset{x->0}{lim}\frac{f}{g}=\underset{x->0}{lim}\frac{{\displaystyle f\text{'}}}{{\displaystyle g\text{'}}}=\frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{-2x\sin \left(x^2\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{x}}}{{\displaystyle \frac{-2x\sin \left(x^2\right)}{x}}}$ detta går ingenståns.

Med Taylor menar du det vi diskuterade i morse :)? 

Jag är osäker att jag kan det med $x^2$.

 Maclaurin-serieutveckling är ett specialfall av Taylor-serieutveckling.

$f\left(x\right)\approx f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)x+f\text{'}\text{'}\left(0\right)\frac{x^2}{2!}....$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{små-vinkelapprox.}{Maclaurin}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin \left(x^2\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=2x\cos \left(x^2\right) \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2\cos \left(x^2\right)-2x2x\sin \left(x^2\right) \end{gathered}$$

Personligen föredrar jag nog att ta tjuren vid hornen och gå direkt på MacLaurin av tillräckligt hög grad här (minst 4).

Affe Jkpg skrev:

dajamanté skrev:

Låt mig testa:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)={\sin }^{2}x \\ f\text{'}\left(x\right)=2\sin x\cos x=\sin 2x \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\cos \left(x^2\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=-2x\sin \left(x^2\right) \end{gathered}$$

$\underset{x->0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x-\sin \left(x^2\right)}{1-\sin \left(x^2\right)}$=$\underset{x->0}{lim}\frac{f}{g}=\underset{x->0}{lim}\frac{{\displaystyle f\text{'}}}{{\displaystyle g\text{'}}}=\frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{-2x\sin \left(x^2\right)}=\frac{{\displaystyle \frac{\sin 2x-2x\cos x^2}{x}}}{{\displaystyle \frac{-2x\sin \left(x^2\right)}{x}}}$ detta går ingenståns.

Med Taylor menar du det vi diskuterade i morse :)? 

Jag är osäker att jag kan det med $x^2$.

 Maclaurin-serieutveckling är ett specialfall av Taylor-serieutveckling.

$f\left(x\right)\approx f\left(0\right)+f\text{'}\left(0\right)x+f\text{'}\text{'}\left(0\right)\frac{x^2}{2!}....$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{små-vinkelapprox.}{Maclaurin}$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sin \left(x^2\right) \\ f\text{'}\left(x\right)=2x\cos \left(x^2\right) \\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2\cos \left(x^2\right)-2x2x\sin \left(x^2\right) \end{gathered}$$

 Som tomast80 skriver...andra "graden" räckte inte...men man kan roa sig med att öka "gradtalet" :-)

$\displaystyle\{\frac{\sin^2 x -\sin^2 0}{x-0}-\frac{\sin(x^2)-\sin(0^2)}{x-0}\}/\frac{\cos(x^2)-1}{x-0}.$

Limes, limes, limes!!! (inte LIMUS) av detta när $x$ närmar sig noll bör nu vara lätt att beräkna om man kommer ihåg hur derivata definieras.

Alltså jag får: 

$\frac{1}{x}\frac{\left(\cos (x^2+2hx+h)-1\right)-\left(\cos \left(x^2\right)-1\right)}{h}$

Jag tror att det är bara plugga sista delen av kursen i natt, för att man klarar sig inte utan maclauringutvekling....

@tomast80 och Affe: återkommer när jag har läst kapitlet...

Albiki skrev:

$\displaystyle\{\frac{\sin^2 x -\sin^2 0}{x-0}-\frac{\sin(x^2)-\sin(0^2)}{x-0}\}/\frac{\cos(x^2)-1}{x-0}.$

Limes, limes, limes!!! (inte LIMUS) av detta när $x$ närmar sig noll bör nu vara lätt att beräkna om man kommer ihåg hur derivata definieras.

 Snygg omskrivning, men detta ger väl ändå bara ett uttryck på formen:

$\frac{0-0}{0}$?

Pust. Varför har jag anmält mig till provet?

Klockan är bara 8:47 och mitt huvud redan pulserar.