övertygas inte av de moivres formel?!

Hej, jag har svårt att förstå beviset av de moivres formel,. har någon en enklare variant till förklaring över hur det går till och vill förklara steg för steg? det jag e med på e att vi ska utgå från att polär form av z=cos(argz)+sin(argz)i

Skulle vara schysst,

Är du med på att om z och w är komplexa tal så är

arg(z*w) = arg(z) + arg(w)

I så fall trillar De Moivres formel ut nästan automatiskt. Om inte, så får vi nog börja med att visa ovanstående.

Välkommen till Pluggakuten!

Är det något av de här bevisen du tycker är svårt, eller något annat?

Dr. G skrev:
Är du med på att om z och w är komplexa tal så är
arg(z*w) = arg(z) + arg(w)
?
I så fall trillar De Moivres formel ut nästan automatiskt. Om inte, så får vi nog börja med att visa ovanstående.

jag e inte hundra med på det men tycker ändå att det känns logiskt och verkar funka när jag testar:)

Smaragdalena skrev:
Välkommen till Pluggakuten!
Är det något av de här bevisen du tycker är svårt, eller något annat?

tack! induktionsbeviset är det som jag försökt ge mig på:)

$z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))$

$w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))$

vad blir då $z\cdot w$ ?

Vilken rad i induktionsbeviset fastnar du på?

Dr. G skrev:
Om
$z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))$
$w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))$
vad blir då $z\cdot w$ ?

(r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2

Smaragdalena skrev:
Vilken rad i induktionsbeviset fastnar du på?

hur tex kan det bli bevisat genom att sätta in n=0 eller n=1?

Om vi sätter in n = 0 i påståendet så skall vi kolla om det stämmer att $(\cos v + i \sin v)^0=\cos(0 \cdot v)+ i \sin(0 \cdot v)$ . VL = 1 eftersom $vadsomhelst^0=1$ . HL = cos(0) + i sin(0) = 1+0 = 1. Alltså är VL = HL och vi har bevisat att basfallet (n = 0) stämmer.

Smaragdalena skrev:
Om vi sätter in n = 0 i påståendet så skall vi kolla om det stämmer att $(\cos v + i \sin v)^0=\cos(0 \cdot v)+ i \sin(0 \cdot v)$ . VL = 1 eftersom $vadsomhelst^0=1$ . HL = cos(0) + i sin(0) = 1+0 = 1. Alltså är VL = HL och vi har bevisat att basfallet (n = 0) stämmer.

så det räknas alltså som bevis?

danielladd skrev:
Dr. G skrev:
Om
$z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))$
$w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))$
vad blir då $z\cdot w$ ?
(r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2

Nej, inte riktigt

$$ z\cdot w = r_1r_2(\cos(v_1)\cos(v_2) + i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + i^2\sin(v_1)\sin(v_2)) $$

Det kan förenklas ytterligare.

Dr. G skrev:
danielladd skrev:
Dr. G skrev:
Om
$z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))$
$w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))$
vad blir då $z\cdot w$ ?
(r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2
Nej, inte riktigt
$$ z\cdot w = r_1r_2\left(\cos(v_1)\cos(v_2) + i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + i^2\sin(v_1)\sin(v_2)\right) $$
Det kan förenklas ytterligare.

(r1cosv1)^4+(ircosv2)^4?

Det jag ville skriva var

$z \cdot w = r_{1} r_{2} [\cos (v_{1}) \cos (v_{2}) + i \cos (v_{1}) \sin (v_{2}) + i \sin (v_{1}) \cos (v_{2}) + i^{2} \sin (v_{1}) \sin (v_{2})]$

eller förenklat

$z \cdot w = r_{1} r_{2} [\cos (v_{1}) \cos (v_{2}) - \sin (v_{1}) \sin (v_{2}) + i (\sin (v_{1}) \cos (v_{2}) + \cos (v_{1}) \sin (v_{2}))]$

Är du med på att detta är samma sak som att

$z \cdot w = r_1r_2\left[\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2)\right]$

Hej!

Eftersom det gäller att

$e^{iv}=\cos v + i\sin v$

och enligt potensregel gäller det att

$(e^{iv})^n=e^{inv}$

så följer det omedelbart att

$\displaystyle (\cos v+i\sin v)^n = \cos nv + i\sin nv.$

Dr. G skrev:
Det jag ville skriva var
$z \cdot w = r_{1} r_{2} [\cos (v_{1}) \cos (v_{2}) + i \cos (v_{1}) \sin (v_{2}) + i \sin (v_{1}) \cos (v_{2}) + i^{2} \sin (v_{1}) \sin (v_{2})]$
eller förenklat
$z \cdot w = r_{1} r_{2} [\cos (v_{1}) \cos (v_{2}) - \sin (v_{1}) \sin (v_{2}) + i (\sin (v_{1}) \cos (v_{2}) + \cos (v_{1}) \sin (v_{2}))]$
Är du med på att detta är samma sak som att
$z \cdot w = r_1r_2\left[\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2)\right]$
?

känns som vi gått igenom det när vi hållit på med trigonomtriska samband men det är inget jag kommer ihåg hur det bevisas

Albiki skrev:
Hej!
Eftersom det gäller att
$e^{iv}=\cos v + i\sin v$
och enligt potensregel gäller det att
$(e^{iv})^n=e^{inv}$
så följer det omedelbart att
$\displaystyle (\cos v+i\sin v)^n = \cos nv + i\sin nv.$

okej, ska kolla lite om e^iv=cosv+isinv

Svara

Visa senaste svar