16 svar
314 visningar
danielladd 148
Postad: 5 jun 2018 20:54 Redigerad: 5 jun 2018 20:55

övertygas inte av de moivres formel?!

Hej, jag har svårt att förstå beviset av de moivres formel,. har någon en enklare variant till förklaring över hur det går till och vill förklara steg för steg? det jag e med på e att vi ska utgå från att polär form av z=cos(argz)+sin(argz)i

Skulle vara schysst,

Dr. G 9459
Postad: 5 jun 2018 21:00

Är du med på att om z och w är komplexa tal så är

arg(z*w) = arg(z) + arg(w)

?

I så fall trillar De Moivres formel ut nästan automatiskt. Om inte, så får vi nog börja med att visa ovanstående.

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 5 jun 2018 21:01 Redigerad: 5 jun 2018 21:03

Välkommen till Pluggakuten!

Är det något av de här bevisen du tycker är svårt, eller något annat?

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 12:02
Dr. G skrev:

Är du med på att om z och w är komplexa tal så är

arg(z*w) = arg(z) + arg(w)

?

I så fall trillar De Moivres formel ut nästan automatiskt. Om inte, så får vi nog börja med att visa ovanstående.

 jag e inte hundra med på det men tycker ändå att det känns logiskt och verkar funka när jag testar:)

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 12:03
Smaragdalena skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Är det något av de här bevisen du tycker är svårt, eller något annat?

 tack! induktionsbeviset är det som jag försökt ge mig på:)

Dr. G 9459
Postad: 6 jun 2018 12:20

Om

z=r1(cos(v1)+isin(v1))z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))

w=r2(cos(v2)+isin(v2))w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))

vad blir då z·wz\cdot w?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 jun 2018 12:20

Vilken rad i induktionsbeviset fastnar du på?

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 15:16
Dr. G skrev:

Om

z=r1(cos(v1)+isin(v1))z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))

w=r2(cos(v2)+isin(v2))w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))

vad blir då z·wz\cdot w?

 (r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 15:18
Smaragdalena skrev:

Vilken rad i induktionsbeviset fastnar du på?

 hur tex kan det bli bevisat genom att sätta in n=0 eller n=1?

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 6 jun 2018 16:58

Om vi sätter in n = 0 i påståendet så skall vi kolla om det stämmer att (cosv+isinv)0=cos(0·v)+isin(0·v)(\cos v + i \sin v)^0=\cos(0 \cdot v)+ i \sin(0 \cdot v). VL = 1 eftersom vadsomhelst0=1vadsomhelst^0=1. HL = cos(0) + i sin(0) = 1+0 = 1. Alltså är VL = HL och vi har bevisat att basfallet (n = 0) stämmer.

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 17:16
Smaragdalena skrev:

Om vi sätter in n = 0 i påståendet så skall vi kolla om det stämmer att (cosv+isinv)0=cos(0·v)+isin(0·v)(\cos v + i \sin v)^0=\cos(0 \cdot v)+ i \sin(0 \cdot v). VL = 1 eftersom vadsomhelst0=1vadsomhelst^0=1. HL = cos(0) + i sin(0) = 1+0 = 1. Alltså är VL = HL och vi har bevisat att basfallet (n = 0) stämmer.

 så det räknas alltså som bevis? 

Dr. G 9459
Postad: 6 jun 2018 17:29 Redigerad: 6 jun 2018 17:31
danielladd skrev:
Dr. G skrev:

Om

z=r1(cos(v1)+isin(v1))z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))

w=r2(cos(v2)+isin(v2))w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))

vad blir då z·wz\cdot w?

 (r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2

 Nej, inte riktigt

$$ z\cdot w = r_1r_2(\cos(v_1)\cos(v_2) + i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + i^2\sin(v_1)\sin(v_2)) $$

Det kan förenklas ytterligare.

danielladd 148
Postad: 6 jun 2018 17:33
Dr. G skrev:
danielladd skrev:
Dr. G skrev:

Om

z=r1(cos(v1)+isin(v1))z = r_1(\cos(v_1) +i\sin(v_1))

w=r2(cos(v2)+isin(v2))w = r_2(\cos(v_2) +i\sin(v_2))

vad blir då z·wz\cdot w?

 (r1cos(v1)+r1isin(v1))*(r2cosv2)+r2isin(v2))=r1cosv1*ir2cosv2+r1cosv1*r2isinv2+r1isinv1*r2cosv2+r1isinv1*r2isinv2

 Nej, inte riktigt

$$ z\cdot w = r_1r_2\left(\cos(v_1)\cos(v_2) + i\cos(v_1)\sin(v_2) + i\sin(v_1)\cos(v_2) + i^2\sin(v_1)\sin(v_2)\right) $$

Det kan förenklas ytterligare.

 (r1cosv1)^4+(ircosv2)^4?

Dr. G 9459
Postad: 6 jun 2018 19:52 Redigerad: 6 jun 2018 19:53

Det jag ville skriva var

z·w=r1r2cosv1cosv2+icosv1sinv2+isinv1cosv2+i2sinv1sinv2

eller förenklat

z·w=r1r2cosv1cosv2-sinv1sinv2+isinv1cosv2+cosv1sinv2

Är du med på att detta är samma sak som att

z·w=r1r2cos(v1+v2)+isin(v1+v2)z \cdot w = r_1r_2\left[\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2)\right]

?

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 6 jun 2018 21:13

Hej!

Eftersom det gäller att

    eiv=cosv+isinve^{iv}=\cos v + i\sin v

och enligt potensregel gäller det att

    (eiv)n=einv(e^{iv})^n=e^{inv}

så följer det omedelbart att 

    (cosv+isinv)n=cosnv+isinnv.\displaystyle (\cos v+i\sin v)^n = \cos nv + i\sin nv.

danielladd 148
Postad: 7 jun 2018 07:17
Dr. G skrev:

Det jag ville skriva var

z·w=r1r2cosv1cosv2+icosv1sinv2+isinv1cosv2+i2sinv1sinv2

eller förenklat

z·w=r1r2cosv1cosv2-sinv1sinv2+isinv1cosv2+cosv1sinv2

Är du med på att detta är samma sak som att

z·w=r1r2cos(v1+v2)+isin(v1+v2)z \cdot w = r_1r_2\left[\cos(v_1 + v_2) + i\sin(v_1 + v_2)\right]

?

 känns som vi gått igenom det när vi hållit på med trigonomtriska samband men det är inget jag kommer ihåg hur det bevisas

danielladd 148
Postad: 7 jun 2018 07:19
Albiki skrev:

Hej!

Eftersom det gäller att

    eiv=cosv+isinve^{iv}=\cos v + i\sin v

och enligt potensregel gäller det att

    (eiv)n=einv(e^{iv})^n=e^{inv}

så följer det omedelbart att 

    (cosv+isinv)n=cosnv+isinnv.\displaystyle (\cos v+i\sin v)^n = \cos nv + i\sin nv.

 okej, ska kolla lite om e^iv=cosv+isinv 

Svara
Close