Övertäckning
Hej
jag skulle behöva lite hjälp med följande fråga:
a)Kan ett 10x14 rutnät övertäckas av 1x4 brickor?
b) Kan ett 10x10 rutnät övertäckas med 1x4 brickor?
I a uppgiften tänkte jag att eftersom varken 10 eller 14 är jämt delbara med 4 så kommer det inte kunna övertäckas.
Jag provade att rita upp rutnätet och prova olika sätt att täcka över och kom fram till att det inte går men jag vet inte riktigt hur man ska förklara eller bevisa det.
Med b uppgiften kom jag också fram till att det inte skulle gå att täcka över samtliga rutor. jag kom fram till det genom att prova mig fram med olika sätt att täcka över men vet inte heller hur man ska matematiskt bevisa det.
Varför följer det av att vare sig 10 eller 14 är jämnt delbart med 4? Om du kan bevisa detta generellt så löser du båda uppgifterna, eftersom varje 10 eller 10 är delbart med 4 heller.
För att ge ett tips så kolla på följande färgläggning och se om du kan komma fram till något.
hm jag är inte riktigt med på hur man ska ta sig vidare, jag förstår att man ska kunna bevisa att det inte är möjligt att täcka samtliga rutor eftersom vare sig 10 eller 14 är jämt delbart med 4 men hur ska man matematiskt kunna bevisa det generellt? och sedan blir det väl ganska enkelt att göra samma sak med 10x10 rutnätet.
K.Ivanovitj skrev :hm jag är inte riktigt med på hur man ska ta sig vidare, jag förstår att man ska kunna bevisa att det inte är möjligt att täcka samtliga rutor eftersom vare sig 10 eller 14 är jämt delbart med 4 men hur ska man matematiskt kunna bevisa det generellt? och sedan blir det väl ganska enkelt att göra samma sak med 10x10 rutnätet.
Om du börjar med att bara försöka inse varför det inte går på en 10 x 14 rutnät så kanske du inser varför det inte går generellt, det krävs lite mer resonemang för att göra det generellt.
Men hursomhelst, på färgläggningen jag föreslog, när du placerar en 1x4 ruta på detta, exakt hur många färgade rutor kommer du täcka? Vad innebär det för antalet 1x4 rutor du måste placera för att täcka hela rutnätet?
När jag försöker att få in så många 1x4 bitar som möjligt så kan jag få in 34st och kan därmed få in 34*4=136
och jag får kvar fyra rutor i en 2x2 kvadrat.
Men jag är inte med på hur man ska bevisa det.
Har du testat försöka svara på de frågor jag ställde? Hur många färgade rutor kommer täckas av en 1x4 bit i den färgläggning jag gav? Vad innebär det för antalet 1x4 bitar du måste placera för att täcka hela rutnätet?
ja när jag provade mig fram med den metoden fick jag färre antal, jag fick in 28st 1x4 bitar använder jag mig av den metoden jag nyss gjorde som gav mig 136 rutor skulle jag kunna täcka alla utom 2 färgade rutor
Fast jag har inte föreslagit någon metod? Jag frågar bara hur många färgade rutor en 1x4 bit täcker?
okej, det täcker väl en färgad ruta och tre vita
Och nästa fråga var hur många 1x4 bitar detta betyder att det krävs för att täcka hela rutnätet?
Ledtråd: Hur många färgade rutor finns det totalt?
Det finns 36 färgade rutor, men om man delar 10*14=140/4 får vi ju 35 alltså borde det ju gå åt 35st 1x4 bitar för att täcka hela rutnätet
Det är korrekt, så för att göra det tydligt
- Det finns 36 färgade rutor
- Varje 1x4 bit täcker exakt en färgad ruta
- Detta innebär att en övertäckning av rutnätet måste involvera 36 stycken 1x4 bitar
- Antalet rutor 36 stycken 1x4 bitar innehåller är inte lika med antalet rutor som rutnätet innehåller.
Så slutsatsen måste vara att det inte går att täcka hela nätet med bitar som är 1x4.
Okej, då är jag med på 10x14 rutnätet, jag provade att jag samma sak med 10x10 rutnätet med 1x4 bitar och fick då att jag kunde placera ut 26 stycken färgade bitar och skulle ju då behöva 26*4=104 rutor. Då antalet rutor inte stämmer överrens med antalet inom 10x10 rutnätet kan vi då säga att det inte går att täcka hela rutnätet med 1x4 bitarna?
Japp det stämmer, samma resonemang fungerar.
okej, men spelar det någon roll om man ändrar om utseendet på 1x4 brickan till en där vi får 3brickor i rad och en bricka över den mellersta? då har vi ju lika många brickor men ändrat utseende.
Ja, det spelar roll, då har du ju inte längre att varje bricka täcker exakt en färgad ruta, så argumentet fungerar inte längre.
okej, jag provade att sätta ihop olika sådana brickor till en enhet och kunde få ihop en 4x4 figur av 4 stycken 1x3brickor med en bricka ovan den mellersta. jag kunde få plats med fyra sådana figurer i 10x10 rutnätet men får ganska många lediga rutor kvar
Du kan färglägga nätet som ett schackbräde. Låt x vara antalet brickor som täcker 3 stycken svarta rutor, och y vara antalet brickor som täcker 3 stycken vita rutor. Om brickorna nu täcker hela rutnätet så kan du verifiera att det måste gälla att
Vad har ekvationssystemet för lösning?
jag får att både x och y blir 12.5
Och då det inte är heltal så har vi en motsägelse.
okej, så då kan vi alltså med säkerhet säga att det inte går att täcka hela 10x10 rutnätet
Ja, precis. Är du med på hur jag fick ekvationssystemet?
