Översätta och tolka kurslitteratur (3)

Jag är inte tillräckligt duktig på LaTeX för att kunna skriva r med tilde över, så jag skriver R istället, och likadant med K. Vi vet att $R(x)-r(x)$ är av lägre grad än $q(x)$, så om $R(x)-r(x)$ är delbart med $q(x)$ betyder det att $q(x)$ måste vara lika med nollpolynomet. Då måste $R(x)-r(x)$ vara lika med nollpolynomet, så $R(x) = r(x)$. Alltså säger ekvation 4 att $q(x)(k(x)-K(x))$ är lika med nollpolynomet, så $k(x) = K(x)$.  

Tack, det blev tydligare. 

Och nollpolynomet är en konstant? Affe och PeBo försöker förklara det för mig i mitt första tråd idag...

Smaragdalena skrev :

Jag är inte tillräckligt duktig på LaTeX för att kunna skriva r med tilde över, så jag skriver R istället, och likadant med K.

Man får $\tilde{r}$ genom att helt enkelt skriva \tilde{r}. Inte helt sällan överraskar LaTeX med att ha enklare syntax än man tror :D

Vi vet att $R(x)-r(x)$ är av lägre grad än $q(x)$, så om $R(x)-r(x)$ är delbart med $q(x)$ betyder det att $q(x)$ måste vara lika med nollpolynomet. Då måste $R(x)-r(x)$ måste vara lika med nollpolynomet, så $R(x) = r(x)$. Alltså säger ekvation 4 att $q(x)(k(x)-K(x))$ är lika med nollpolynomet, så $k(x) = K(x)$.  

Tror det gick lite väl snabbt här, men tar man bort påståendet att $q(x)$ skulle vara nollpolynomet så blir det rätt.

Det vi utnyttjar här är följande resultat:

Påstående. Låt $p(x)$ vara ett polynom, och anta att $p(x)$ har en delare $q(x)$, sådan att $\mathrm{deg}\,q(x)>\mathrm{deg}\,p(x)$. Då måste $p(x)\equiv 0$ gälla.

Är du med på varför detta stämmer, Daja?

Jämför gärna med mostvarande påstående för heltal, som gäller av ungefär samma skäl:

Påstående. Låt $p$ vara ett icke-negativt heltal, och anta att $p$ har en delare $q$, sådan att $q>p$. Då måste $p=0$ gälla.

Ah, otydlig syftning i uppgiftstexten! Jag trodde "det" syftade på q(x) när det tydligen syftade på R(x)-r(x).

Den enda jag förstådd var att om $R(x)-r(x)$ är delbart med $q(x)$ samtidigt som vi VET att $q(x)$ är av lägre grad, då måste de vara av samma grad. 

Att de båda är nollpolynom är jag inte med än.

Nej, vi vet att q(x) är av HÖGRE grad än resten r. Om resten är av högre grad än q(x) (eller samma) kan vi dela resten med q(x).

Kom ihåg att q(x) är ett godtyckligt valt polynom, så om vi lyckades visa att q(x)=0 hade något varit väldigt fel :O :D

Och nej, Daja, det är tvärtom. Om R(x)-r(x) är delbart med q(x) samtidigt som vi vet att q(x) är av högre grad, då vet vi att R(x)-r(x) är nollpolynomet.

Normalt krävs det att täljaren är strre än nämnaren för att en vanlig division av icke-negativa tal ska gå jämnt ut. Det är till exempel omöjligt att 15 ska gå ett helt antalet gånger i 5, så $15\nmid 5$. Däremot stämmer det faktiskt att 5 går tre gånger i 15, så att $5\mid 15$.

Det finns dock ett undantag till detta, nämligen om täljaren är 0. Då går alla divsioner jämnt ut, eftersom alla tal får plats precis 0 gånger i talet 0. Så $15\mid 0$, $116\mid 0$, $3333\mid 0$$ och så vidare.

Liknande gäller för division av polynom. Oftast måste täljaren ha högre gradtal än nämnaren för att en divison ska gå jämnt upp (tänk på hur polynomdivsion går till rent praktiskt). Det är helt omöjligt att $x^3-x$ skulle "få plats" i $x-1$, så vi kan direkt se att $((x^3-x)\nmid (x-1)$, men däremot kan man visa att $x^3-x=(x-1)(x^2+x)$ så att $(x-1)\mid (x^3-x)$. 

Det enda undantaget är nollpolynomet. Alla polynom går 0 gånger i nollpolynomet, och alltså gäller att alla polynom delar nollpolynomet, t.ex. har vi $(x^2+x)\mid 0$.

I det här fallet har vi lyckats visa att vårt okända polynom $R(x)-r(x)$ delas av $q(x)$. Eftersom vi vet att $\mathrm{deg}\,q(x)<\mathrm{deg}\,R(x)-r(x)$, kan  $R(x)-r(x)$  inte vara vilket polynom som helt utan måste vara nollpolynomet, dvs.

$R(x)-r(x)\equiv 0$, vilket ger $R(x)=r(x)$.

Jag måste säga att jag tycker att era förklaringar är jättebra.

Men när jag återgick till ursprungliga texten, förstådd jag inte direkt hur det hängde ihop.

Du skrev:

I det här fallet har vi lyckats visa att vårt okända polynom Error converting from LaTeX to MathML delas av $q(x)$.

Hur exakt?

Är det för att vi har 2 faktorer på VL, $q(x)(k(x)-K(x))$, och en (alltså $R(x)-r(x)$) på HL?

...

jag tror jag ska göra mig en stark te med massor honung...

Exakt! Kom ihåg vad defintionen av delbarhet säger:

Definition. Låt p(x) and q(x) vara två polynom. Vi säger att q(x) delar p(x) [alternativt: p(x) är delbart med q(x)], förkortat q(x)|p(x), om det existerar ett polyom $\color{red}k(x)$ sådant att $p(x)=q(x)\cdot\color{red}k(x)$.

Vi har visat att

$R(x)-r(x)=q(x)\color{red}(k(x)-K(x))$,

vilket precis passar in på definitionen av att q(x) delar R(x)-r(x).

Ok, så den lilla delar den andra, som skulle inte vara möjligt om båda inte var stora nollor... eller om båda inte var den ökända nollpolynom.

Hej!

En omformulering av den understrukna texten är följande: Enligt det som vi kommit fram till tidigare så finns det bara en enda möjlighet för polynomet $q$ att dela polynomet $\tilde{r}-r$: Det är om polynomet $\tilde{r}-r$ är nollpolynomet.

Det betyder att restpolynomet $\tilde{r}$ är samma sak som restpolynomet $r.$ Om $\tilde-r$ är nollpolynomet så är $k-\tilde{k}$ också lika med nollpolynomet (eftersom polynomet $q$ inte är lika med nollpolynomet). Det betyder att kvotpolynomet $\tilde{k}$ är samma sak som kvotpolynomet $k\ .$

Du har kommit fram till att om man delar polynomet $p$ med polynomet $q$ så finns det ett enda kvotpolynom ($k$) och ett enda restpolynom ($r$).

dajamanté skrev :

Ok, så den lilla delar den andra, som skulle inte vara möjligt om båda inte var stora nollor... eller om båda inte var den ökända nollpolynom.

Nej! Det är R(x)-r(x) som måste vara lika med nollpolynomet. q(x) är ett godtycklig nollskilt polynom enligt våra antaganden.

(Mycket tydlig omskrivning av Albiki förresten!)

God morgon!

Jo, nu är jag med, det känns solklart, tack till alla!

(Jag läste min sista inlägg och förstådd knappt vad jag försökte säga!)