Översätta och tolka kurslitteratur (1)

Nollpolynomet, om man multiplicerar med något annat polynom, ger ett nytt "polynom" med ett gradtal samma som nollpolynomet. Man kan tänka på det som att det sänker gradtalet brutalt. Lite som att addera vilket ändligt tal som helst till negativa oändligheten. Normalt om man multiplicerar två polynom av grad p och q så får man ett nytt med grad p+q.

3. Jösses, detta tycks verka användbart...eller...Om du t.ex. skriver

 $p\left(x\right)=a_0+a_1{x}^1+...a_n{x}^n...n\ge 0$ 

så om då alla $a_n=0$...då tycks man minsann ett nollpolynom :-)

PeBo skrev :

Nollpolynomet, om man multiplicerar med något annat polynom, ger ett nytt "polynom" med ett gradtal samma som nollpolynomet. Man kan tänka på det som att det sänker gradtalet brutalt. Lite som att addera vilket ändligt tal som helst till negativa oändligheten. Normalt om man multiplicerar två polynom av grad p och q så får man ett nytt med grad p+q.

Tack för svaren!

Till exempel, vad?

Affe jag tror inte att jag är med ... :(

Om det står i ditt kompendium att $p(x) = 0$ skulle det mest naturliga tolkningen vara att detta är en ekvation, som man kan beräkna nollställena för. I det här fallet är det inte det man är ute efter, utan man vill att $p(x)$ skall ha värdet 0 vilket x man än stoppar in. Alltså förtjänar detta polynom ett eget namn (nollpolynomet) och en egen beteckning.

Följde du länken? Det är helt enkelt siffran 0. Det är på sätt och vis för enkelt för att fatta. Det finns exakt ett nollpolynom, det är 0.

Det som blir lite lurigt är graden, som då inte är 0 (varje konstant har grad 0), och inte heller -1 (för då skulle graden av ett polynom som multipliceras av nollpolynomet minska med 1, men det finns inga polynom med negativa exponenter), vilket sker om man multiplicerar med 1/x (vilket inte är ett polynom), utan man väljer att kalla graden $-\infty$. Polynomet smälter bort och förvandlas till nollpolynomet.

Det är enklare än du tror.

vad är graden av x? (svar 1)

vad är graden av 45, eller annan konstant (svar 0)

vad är graden av 1/x (svar: i princip -1 -- det är dock inget polynom; polynom har bara naturliga tal som exponenter.)

vad är graden av 0 (svar: löjligt negativ)

Typ så tänker jag.

Tackar.

Jo, jag läste denna kapitel två gånger, men den känns onödig komplicerat (och förblommerat med olika konstiga exempel). Vi ska gå igenom det på lektionen på måndag, så jag förhoppningsvis hänger med.

Men ok, nu är jag med. Nollpolynomet är helt enkelt talet noll.

Och det svarar också på hur man använder nollpolynomet för att sänka graden av en annan polynom.

$x^{45}·x^{-\infty }=x^{-\infty }$

Ett polynom kan ses som ett uttryck på formen

$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\,,$

där $a_0,\ldots,a_n$ är tal som kallas för koefficienter och $x$ bara är en formell "platshållare" (eller en variabel).

Om $a_1=a_2=\ldots=a_n=0$ så kallas polynomet konstant, och om även $a_0=0$ (så att alla koefficienter är noll) kallas polynomet för nollpolynomet.

 Gradtalet för ett polynom är den högsta exponent av x som förekommer bland de termer vars koeffcient inte är 0.

Exempel 1: $f(x)=4+x-\tfrac{1}{2}x^2+\tfrac{1}{100}x^3$ har gradtalet 3.

Exempel 2: $g(x)=2x^4$ som också kan skrivas som $g(x)=0x^0+0x^1+0x^2+0x^3+2x^4$ har gradtalet 3.

Exempel 3: $h(x)=0.1x$ som också kan skrivas som $h(x)=0x^0+0.1x^1$ har gradtalet 1.

Exempel 4: $k(x)=5$ som också kan skrivas som $k(x)=5x^0$ har gradtalet 0.

Problmet med nollpolynomet $p(x)=0$, eller som det också kan skrivas: $p(x)=0x^0+0x^1+0x^2+0x^3+\cdots$, är att det inte finns några termer alls där koefficient är nollskild -- och då är det himla svårt att välja ut den högsta exponenten av x bland dessa.

Vissa författare väljer därför att säga att nollpolynomet helt enkelt inte har något gradtal.

Det vanligaste är dock att göra som din lärobok har gjort, nämligen att säga att nollpolynomet har gradtalet minus oändligheten. Detta kan vi första anblicken verka extremt. Men det är faktiskt ett väldigt smart sätt att se till att det kända sambandet

$\mathrm{deg}\, p(x) q(x)=\mathrm{deg}\,p(x)+\mathrm{deg}\,q(x)$

som ju gäller för nollskilda polynom $p(x)$ och $q(x)$, även ska gälla för nollpolynomet.

Exempel: Låt $p(x)\equiv 0$ och $q(x)=x^3+1$. Då gäller

$VL=\mathrm{deg}\,p(x)q(x)=\mathrm{deg}(0\cdot(x^3+1))=\mathrm{deg}(0)=-\infty$

och

$HL=\mathrm{deg}\,p(x)+\mathrm{deg}\,q(x)=\mathrm{deg}(0)+\mathrm{deg}(x^3+1)=-\infty+3=-\infty\,,$

eftersom man (väldigt intuitivt) kan tänka att +3 är helt försumbart jämfört med något oändligt negativt. 

En liten filosofisk utläggning: Det kan som jag skrev innan tyckas att det är lite väl extremt att ge nollpolynomet gradtalet $-\infty$. Är verkligen nollpolynomet så annorlunda från "vanliga" konstanta polynom, att gradtalet måste bli så pass anorlunda från det vanliga gradtalet 0. Och ja, det är det faktiskt!

Speciellt vid multiplikation har nollpolynomet helt andra egenskaper än nollskilda konstanta polynom. Att multiplicera med en nollskild konstant gör nästan ingen skillnad. Exempelvis ser $x^5+4$ och $3(x^5+4)=3x^5+12$ nästan likadana ut (de har exempelvis samma gradtal). Man kan dessutom enkelt ångra en multiplikation med en nollskild konstant. Vill vi ångra multiplikationen med 3 ovan så multiplicerar vi bara med 1/3 och får $\tfrac{1}{3}(3x^5+12)=x^5+4$, dvs. precis det vi började med.

Med nollpolynomet är det helt annorlunda. Alla termer förintas när man multiplicerar med 0, inget polynom kommer undan. Exempelvis är $0(x^5+4)=0$. Har man en gång multiplicerat med 0 finns det dessutom ingen återvändo; det är för evigt försent att ångra sig. Det finns inget annat du kan multiplicera med för att få tillbaka det du började med. Så på sätt och vis är nollpolynomet lite som en multiplikativ atombomb i polynomvärlden. Och vad passar bättre än att ge atombombspolynomet gradtal $-\infty$? :D

Jag hänger med! Jag förstådd absolut inte vad menades med att förinta polynomer, men såklart $-\infty$ tvättar bort alla fläckar, i multiplikationer och i additioner.

Daja skrev:

$x^{45}\cdot x^{-\infty}=x^{-\infty}$

Det är exakt så man tänker! :D