Otillräckligt bevis för att (x - 1) är en faktor

Uppgiften är följande:

Låt p(x) vara ett polynom av graden n, där n är ett positivt tal. Visa att $x-1$ är en faktor i polynomet om och endast om $a_{n} + a_{n - 1} + . . . + a_{1} + c = 0$ .

Min tankegång var följande: Jag börjar med att bevisa att om $x-1$ är en faktor i polynomet, är summan av koefficienterna noll. Sedan bevisar jag att om summan av koefficienterna är noll är $x-1$ en faktor i polynomet. Då har jag täckt igen alla luckor.

Genom att utnyttja att $f (1) = 0$ , eftersom $x-1$ är en faktor, bevisade jag den första delen av påståendet, men sedan körde jag fast på att bevisa att om $a_{n} + a_{n - 1} + . . . + a_{1} + c = 0$ är $x-1$ en faktor i polynomet. Visst kan jag påstå att varje term kan multipliceras med $1^{n - i}$ , eftersom summan inte förändras av att multiplicera med ett, men det känns som ett torftigt bevis. Det är ju egentligen bara det första beviset baklänges. Finns det något bättre sätt att göra det på?

Tack för all hjälp!

Hej!

Det du skrivit i inläggets inledning är nonsens.

Det verkar som du vill visa att polynomet $x-1$ är en faktor till polynomet $\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}x^k$ om och endast om summan $\sum_{k=0}^{n}a_{n-k} = 0.$

Steg 1. Du utgår från att polynomet $x-1$ är en faktor till polynomet $p(x)=\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}x^k$ , vilket betyder att $p(1)=0$ . Men $p(1)=\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}$ så det önskade resultatet följer omedelbart.

Steg 2. Du utgår från att summan $\sum_{k=0}^{n}a_{n-k} = 0$ . Men $p(1) = \sum_{k=0}^{n}a_{n-k}$ så då har du att $p(1)=0$ vilket medför att $x -1$ är en faktor till polynomet $p$ .

Attans, skrev fel. Det är precis vad jag menar. Jag ska genast ändra!

Det är steg två jag är osäker på. Det känns som att det bara är samma sak fast baklänges? Men jag antar att det fungerar i alla fall? Tack så mycket för hjälpen, Albiki!

Fast det är ju två skilda saker. I steg ett antar vi att $(x-1)$ är en faktor till $p(x)$ och sedan bevisar vi att summan av koefficienterna är noll.

I steg två antar vi att summan av koefficienterna är noll och bevisar att $(x-1)$ är en faktor.

I båda steg används att

$p(1)=$ $\displaystyle \sum_{k=0}^n a_{n-k}$

samt faktorsatsen vilket gör det hela lite rörigt, men det viktiga är att se att de går åt två olika håll. Det bara råkar vara så att man kan använda sig av samma "byggstenar" för att visa påståendena i båda fallen.

Hmm, jo det är sant! Tack så mycket för all hjälp!

Svara

Visa senaste svar