Osäker om induktionsbeviset är korrekt utfört och motiverat

Hej!

Detta är nog mitt första induktionsbevis och jag har tyvärr inget facit någonstans så tänkte fråga om jag i denna uppgift på något sätt har brutit mot induktionsprincipen i mitt utförande, dvs om jag kanske har "fuskat" omedvetet? Min uppgift är följande:

Visa att $\sum_{i = 0}^{n - 1} 2^{i} = 2^{n} - 1$ .

Min argumentation:

Vi utför ett induktionsbevis i två (2) steg:

1. Bassteg

Testar n=1 vilket ger $\sum_{i = 0}^{1 - 1} 2^{i} = 2^{0} = 1$ samt $2^{1} - 1 = 1$ alltså är VL = HL, vilket betyder att påståendet är sant i bassteget.

2. Induktionssteg

Nu utökar vi med ett godtyckligt n + 1 enligt följande: $\sum_{i = 0}^{(n + 1) - 1} 2^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} = 2^{(n + 1)} - 1 = 2^{n} \cdot 2 - 1$

Under förutsättningen att ursprungspåståendet är sant så vill vi alltså hamna i $2^{n} \cdot 2 - 1$ :

$\sum_{i = 0}^{(n + 1) - 1} 2^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} = \sum_{i = 0}^{n - 1} 2^{i} + 2^{n} = 2^{n} - 1 + 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} - 1$ ,

Vi kommer alltså fram i det förväntade uttrycket vilket slutför induktionsbeviset.

Nej, jag kan inte se att du har gjort ett induktionsantagande (eller utnyttjat det).

Induktionsantagande: Antag att det är sant att summan från 0 till n-1 är 2ⁿ. Visa att det I SÅ FALL är sant att summan från 0 till n är 2ⁿ⁺¹.

Induktionsantagandet i kombination med basfallet visar att påståendet är sant för alla värden på n.

Smaragdalena skrev:
Nej, jag kan inte se att du har gjort ett induktionsantagande (eller utnyttjat det).
Induktionsantagande: Antag att det är sant att summan från 0 till n-1 är 2ⁿ. Visa att det I SÅ FALL är sant att summan från 0 till n är 2ⁿ⁺¹.
Induktionsantagandet i kombination med basfallet visar att påståendet är sant för alla värden på n.

Ser att jag nog sagt mitt induktionsantagande lite märkligt på andra stycket men skrev "Under förutsättningen att ursprungspåståendet är sant så..." Som ska hänvisa till just det du säger.

Skrev inte Isåfall, återigen borde nog byta ordning på meningarna, men visar ju sedan det du efterfrågar :)

Du skall först göra ett induktionsantagande och sedan använda dig av det, inte tvärtom.

Hej,

Ett induktionsbevis av ditt påstående består av fyra steg.

Steg 1. Visa att påståendet är sant för $n=1$ .
Steg 2. Anta att påståendet är sant för ett positivt heltal $n$ .
Steg 3. Visa att påståendet är sant för nästa heltal $n+1$ .
Steg 4. Enligt Induktionsaxiomet är påståendet sant för alla positiva heltal.

Svara

Visa senaste svar