Ortorgonal projektion av punkter till triangel

Hej! Jag sitter med en gammal tenta i Linjär Algebra och har kört fast.
Uppgiften lyder:

"De tre punkterna P=(1,0,1), Q = (0,1,2) och R=(1,2,0) projeceras ortogonalt på planet x₁+x₂+x₃=0 och bildar hörnen på en triangel. Beräkna triangelns area."

Jag gjorde som så att jag projicerade de tre punkterna ner ortogonalt på planet:

Planet : x1+x2+x3=0

normalvektor: n(1,1,1)

Jag använder n som riktingsvektor för hjälplinjerna jag konstruerar här under.

P:

$$\begin{gathered} Hjälplinje L=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1+t\\ x_2=0+t\\ x_3=1+t\end{array}\right. \\ Sedan stoppar jag in dessa koordinater i planets ekvation: \\ (1+t)+t+(1+t)=0 \\ t=-\frac{2}{3} \\ Detta t stoppar jag sedan tillbaka i hjälplinjen: \\ L=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\\ x_2=0-\frac{2}{3}=-\frac{2}{3}\\ x_3=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{array}\right. \\ Projicerad P_p=(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}) \\ Jag gjorde likadant med de två andra: \\ Q: \\ L´=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=0+t\\ x_2=1+t\\ x_3=2+t\end{array}\right. \\ t+(1+t)+(2+t)=0 \\ t=-1 \\ L´=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=0-1=-1\\ x_2=1-1= 0\\ x_3=2-1=1\end{array}\right. \\ {Q}_p=(-1,0,1) \\ R: \\ L´´=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1+t\\ x_2=2+t\\ x_3=0+t\end{array}\right. \\ (1+t)+(2+t)+t== \\ t=-1 \\ L´´=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=1-1=0\\ x_2=2-1=1\\ x_3=0-1=-1\end{array}\right. \\ {R}_p=(0,1,-1) \end{gathered}$$

Här har jag min tre punkter. Jag kan räkna ut avståndet mellan två av dem. Men höjden i triangeln får jag banne mig inte till. Jag tänkte mig att man kanske skulle kunna göra ytterligare två hjälplinjer. En som går genom två punkter och en annan som går genom översta hörnet i triageln och skär den första. Något sånt här:

Så tänker jag mig att $\frac{PQ·RZ}{2}=Area$

$$\begin{gathered} L: \\ PQ=(-1,0,1)-(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})=(-\frac{4}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}) \\ Använder PQ som riktingsvektor för L samt Q som en punkt på linjen \\ L=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1-\frac{4}{3}t\\ x_2=0-\frac{1}{3}t\\ x_3=1+\frac{2}{3}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Där efter blir det knepigt. Jag tänkte att man för att hitta en riktningsvektor för L´kunde ta vektorsmultiplikation av riktningsvektorn för L och normalvektorn för planet. På så vis får man en vektor som är ortogonal mot båda och där för borde funka.

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}\begin{array}{cc}-\frac{4}{3}& \frac{-1}{3}\end{array}& \frac{2}{3}& \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}-\frac{4}{3}& \frac{-1}{3}\end{array}& \frac{2}{3}\end{array}\end{array}\right| \\ \left| 1 1 1 1 1 1 \right| \\ = (-1, 2, -1) \\ Använder denna som riktningsvektor och R som punkt \\ L´=\left\{\begin{array}{l}{x}_1=0-t\\ x_2=1+2t\\ x_3=-1-t\end{array}\right. \end{gathered}$$

Här efter blir problemet helt enkelt att jag inte vet vad jag ska göra!
Några förslag/tips eller något jag missat kanske?