Ortonormerad bas

Ekvationssystemet har 4 okända variabler, 1 bunden och 3 fria, vilket betyder att vi förväntar oss en lösningsskara med dimension 3.

Låt $x_2=r, x_3=s, x_4=t$

Då blir ekvationen $x_1=-2r+s-4t$

Kan du ställa upp sambanden för variablerna på matrisform, dvs ungefär så här?

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=r \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}+t \begin{pmatrix}\vdots\\\vdots\end{pmatrix}$

Nu är vektorerna du får fram visserligen linjärt oberoende men förmodligen varken ortogonala eller normerade. Lyckligtvis finns det en metod för att ta fram en ON-bas när man redan har en bas. Metoden är uppkallad efter några gamla farbröder, Jørgen Pedersen Gram och Erhard Schmidt.

Kommer du vidare? Visa dina försök.

Får dem ursprungliga vektorerna till (-2,1,0,0), (1,0,1,0) och (-4,0,0,1), stämmer det?

Ja, det stämmer, bra!

Nu har du hittat en bas av 3 vektorer $\{v_1,v_2,v_3\}$ som tillsammans spänner rummet av alla lösningar till ekvationen $x_1+2x_2-x_3+4x_4=0$.

Men som vi misstänkte redan på förhand är vektorerna varken ortogonala eller normerade.

Nästa steg är alltså att hitta en ny bas $\{e_1,e_2,e_3\}$ som spänner samma rum, men där basen också är parvis ortogonal,  $e_1\cdot e_2=0$, $e_1\cdot e_3=0$ och $e_2\cdot e_3=0$ samt normerad, $||e_1||=||e_2||=||e_3||=1$. Då kallas basen en ON-bas.