Ortonormerad bas

Jag började med att direkt tillämpa Gram-Schmidt metoden på v₁ och v₂ för att erhålla den ortogonala basen w₁ och w₂, sedan normerade jag vektorerna för att omvandla det till en ortonormerad bas, svaret blev helt fel. I lösningen börjar de med att introducera två nya vektorer, men jag förstår inte riktigt tanken bakom det. De skapar en bas, men jag tolkade W=span(v₁, v₂) som att v₁ och v₂ var basen. Hur vet man att man behöver två andra vektorer och vilka koordinater vektorerna ska ha (jag noterar dock att de två vektorerna motsvarar 3:e och 4:e vektorerna i standardbasen för R^4)?