Ortonormal bas av egenvektorer

Hej! Jag skulle behöva hjälp med deluppgiften c).

Det kanske är uppenbart vad innebörden av frågan är, men jag förstår inte riktigt. Hur kan jag ta reda på om $R^{3}$ har en ortonormal bas av egenvektorer till $A$ ?

Från deluppgift a) fick jag fram att:

Egenvärdet $λ = - 1$ är en dubbelrot och har egenvektorerna: $t [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], s [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]$

Egenvärdet $λ = 3$ har egenvektorn: $r [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}]$

Jag har också tagit fram egenrummen $E_{- 1}$ och $E_{3}$ som är "span" framför vektorerna för varje egenvärde. Och jag vet även att A är diagonaliserbar eftersom en av dess egenvärden är en dubbelrot som har två egenvektorer, och matrisen har därmed 3 egenvektorer. Men jag har nu problem med uppgift c).

Är ”planet” E_-1 ortogonalt mot ”linjen” E₃?

PATENTERAMERA skrev:
Är ”planet” E_-1 ortogonalt mot ”linjen” E₃?

Jag är inte så säker på hur man undersöker om ett plan och en linje är ortogonala när jag har planet i "span"-form. Men jag tänkte så här:

$[\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] = 1$ och $[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] = 0$

Jag antar att det betyder att planet och linjen inte är ortogonala mot varandra? Jag kanske har tänkt fel helt och hållet.

Det är rätt tänkt. Om den tredje egenvektorn skall vara ortogonal mot varje vektor i E_-1 så måste den vara ortogonal mot båda de andra egenvektorerna, och det är den inte.

Så E_-1 och E₃ är inte ortogonala.

Om du hade en ortogonal bas av egenvektorer så måste två av basvektorerna plockas från E_-1 och en basvektor plockas från E₃. Eftersom basvektorn i E₃ är ortogonal mot båda de andra basvektorerna så är den ortogonal mot varje vektor i E_-1 (eftersom varje vektor i E_-1 är en linjärkombination av de två basvektorerna som ligger i E_-1). Det skulle betyda att E_-1 och E₃ var ortogonala, men vi vet att så inte är fallet, så det kan inte finnas någon ortogonal bas av egenvektorer.

Jag förstår nu! Tack så jättemycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar