Ortonormal bas
Har problem med en matris/vektor uppgift.
Uppgiften lyder:
Konstruera en ortonormal bas till det plan V i R^3 som har ekvationen x − y + 2z = 0.
Jag tror jag vet hur jag ska normalisera och konstruera en bas, men vet inte hur jag ska få ekvationen x-2y+2z=0 på vektor form så att jag kan fortsätta.
Någon som vet?
Alla vektorer som ligger i planet uppfyller ekvationen. Hur gör du för att lösa ekvatione? Det är 1 ekvation, 3 okända så du kommer få parameterlösning. Så ansätt exempelvis y=t, z=s och lös ut x som en funktion av t och s. Då får du ekvationen på vektorform
Det är ganska enkelt att hitta någon vektor som ligger i planet, tex (0, 1, 1). Sedan vet vi att n = (1, -2, 2) är en normal till planet. Således är (1, -2, 2) x (0, 1, 1) ytterligare en vektor i planet, som dessutom är ortogonal mot (0, 1, 1).
PATENTERAMERA skrev:Det är ganska enkelt att hitta någon vektor som ligger i planet, tex (0, 1, 1). Sedan vet vi att n = (1, -2, 2) är en normal till planet. Således är (1, -2, 2) x (0, 1, 1) ytterligare en vektor i planet, som dessutom är ortogonal mot (0, 1, 1).
Det här är en mycket snabbare lösning!!
Okej, så det var så pass enkelt att få den till en vektor.
Här hade vi ett liknande exempel, men förstår ändå inte riktigt hur jag ska räkna ut basen.
I detta exempel räknas ju också projektionsmatrisen ut, men i mitt fall behövs bara basen.
Om jag utgår från normalvektorn så hur ska det se ut då?
Du kan använda Hondels eller min metod för att ta fram en bas även på detta problem. Det finns dock inget krav på att basen skall vara ortonormal här.
Hade skrivit lite fel info i uppgiften, ekvationen skulle vara x-y+2z=0
men annars har jag nu testat att räkna uppgiften med hjälp av Gram-Schmidt metoden, ser detta någorlunda rätt ut? Är väldigt osäker...
Jag har inte dubbelkollat räkningarna, men jag kan direkt säga att något gått fel: i uppgiften frågar de efter en bas för planet. Hur många dimensioner har ett plan? Hur många basvektorer behövs då? Och är verkligen normalen med och spänner upp planet?
Om du dubbelkollar så ser du att ingen av vektorerna (0, 1, 1), (1, -1, 2) och (0, -1, 2) ligger i planet x - y + 2z = 0. Men tex vektorerna (1, 1, 0) och (-1, 1, 1) verkar ligga i planet.
Okej, men hur kommer du till att det just är de vektorerna som gäller? Det är där jag inte hänger med
Det är inte så att att det är just de som gäller - det finns oändligt många alternativ. Du kan välja två av variablerna x, y och z som du vill och sedan räkna ut den tredje variabeln från planets ekvation.
Tex kan vi välja z = 0 och y = 1. Sätt in i planets ekvation x - 1 + 20 = 0, vilket ger att x = 1. Sedan kan vi välja z = 1 och y = 1, vilket ger att x = -1.
Se till att kolla att de vektorer du valt är linjärt oberoende.
Okej, tack då hänger jag med i hur man gör vektorerna. Det behövs väl tre stycken vektorer som man då ortogonaliserar och normaliserar med Grahm schmidt metoden.
Men för att få den tredje vektorn ska jag då använda projektion? Eller hur kommer jag vidare med vektorerna så jag kan börja med Grahm schmidt metoden?
Tänk på att det som efterfrågas är en ON-bas för planet. Om jag förstår frågan rätt. Planet är ett tvådimensionellt underrum till . Det betyder att du bara behöver två vektorer som ingång till Gram-Schmidt. Varje bas för planet består av två vektorer.
ok, kan jag då räkna dessa två vektorer (1 1 0) och (-1 1 1) med hjälp av Grahm schmidt eller behöver jag göra nånting före med dessa vektorer och hur isåfall?
Du kan köra Gram-Schmidt på dem.
Sedan kan du alltid dubbelkolla ditt svar själv. Är de vektorer du fått fram ortonormala? Ligger de i planet? Ja, i så fall är de en ON-bas för planet.
Ser detta då rätt ut?
Tänk på att ||(-1, 1, 1)|| = . Så den andra vektorn borde vara .
Oj bra du märkte, glömde helt bort det. Tack för all hjälp!
