Ortonomerad bas - uppgift
Bestäm en vektor v3 som tillsammans med
v1 = 1/3(-2,-1,2) och v2 = 1/3(1,2,2) utgör en ortonomerad bas. Bestäm koordinaterna för u = (1,1,1) med avseende på v1, v2, v3. (Ortonomerat system)
1. Vad spelar det allra sista inom parentes för roll för uppgiften?
2. Min början till lösning är nedan - och min första fråga är:
hur hade jag kunnat ställa upp ekvationssystemet om jag INTE hade stoppat in 1/3 i parenteserna för v1 och v2? jag vet inte hur man får göra.
3. hur fortsätter jag från det system dit jag kommit?
om jag nu alls är på rätt väg?
4. när jag fått ut vektorn från systemet - alltså när jag löst ut x y z så jag har ett basuttryck för v3 - är denna basen då ortonomerad? mitt förslag är ja, eftersom v1 och v2 är sagda att TILLSAMMANS med v3 utgöra en ortonomerad bas rätt? om nej - varför inte?
1 Det betyder att v3 är en enhetsvektor vinkelrät mot v1 och v2.
2 För att få (x,y,z) ortogonal mot v1 och v2 spelar tredjedelen ingen roll.
3 Sätt in ett godtyckligt värde på z, till exempel z=2. Nu kan du beräkna y och x.
4 Normera sedan vektorn så har du v3.
I R3 så finns ju även kryssprodukt, så v3 = v1 x v2.
Dr. G skrev :I R3 så finns ju även kryssprodukt, så v3 = v1 x v2.
Jo fast vi har inte kommit dit än (kap 5, detta är kap 4) :)
1. Men har man inte redan specificerat det i raderna ovan i uppgfiten?
2. Men ändras inte längderna då?
3. Ska se om jag fåt till det - tack!
4. Varför är inte v3 ortonomerad när jag löst ut denna?
5. Om ingående vektorer är ortonomerade - är utgående nr 3 ortonomerad om jag
5.1. INTE stoppar in a/3 i parentesen?
5.2. STOPPAR in 1/3 i parentesen?
3.
Men vänta lite - ska jag sätta in ett värde? Varför/Hur får man göra så och varför ska man inte använda en parameter?
Trodde detta var mer hur man skulle göra
man sätter z till t, y blir 3t, x blir -2.5t, vet dock inte hur jag skulle fortsätta...
1. Jo, det står 2 ggr, först i uppgiftstexten och sedan i parentesen.
2. Jo, men inte riktningarna. Om du gör en tredje vektor som är vinkelrät mot de långa vektorerna (utan tredjedel) så är den vinkelrät mot de normerade vektorerna också.
4. Det är bäst att kolla!
5. Se 4
smaragdalena skrev :1. Jo, det står 2 ggr, först i uppgiftstexten och sedan i parentesen.
2. Jo, men inte riktningarna. Om du gör en tredje vektor som är vinkelrät mot de långa vektorerna (utan tredjedel) så är den vinkelrät mot de normerade vektorerna också.
4. Det är bäst att kolla!
5. Se 4
4. hur kollar man dess längd och om den är ortonomerad?
3. se posten ovan ditt svar... får inte till det
det ska blir 1/3(-2,2,1) och jag fåt ut en vektor (-2.5,3,1) som normerad blir 1/16.25 * (-2.5,3,1)
Du behöver visa hur du har fått fram din vektor för att vi skall kunna hitta var du har gjort fel.
Normalen till ett plan är samma sak som en vektor som är vinkelrät mot planet.
Vi vet att vektorerna (-2,-1,2) och (1,2,2) (jag väljer att arbeta med de icke-normerade vektorerna för att få enklare siffror) spänner upp ett plan, d v s att punkterna (0,0,0), (-2,-1,2) och (1,2,2) ligger i planet.
Ett plan kan skrivas som ax + by + cz + d = 0, och eftersom origo ligger i planet, vet vi att d = 0.
Sätter vi in de båda kända punkterna i ekvationen för planet, får vi
-2a - b + 2c = 0 respektive a + 2b + 2 c = 0. Om vi löser ut b från den första får vi b = 2c - 2a, och sätter vi on detta i den andra ekvationen får vi a + 2(2c - 2a) + 2c = 0, vilket kan förenklas till a = 2c. Sätter vi in detta i uttrycket för b blir det b = 2c - 4c = -2c. Väljer vi att c = 1 blir den tredje vektorn (2, -2, 1). Denna vektor har längden , så om vi vill normera den vektorn behöver vi multiplicera den med 1/3.
