Ortogonalitet och hyperplanets ekvation

Givet ett hyperplan i ${\mathrm{ℝ}}^n$  så kan det beskrivas som $\sum _{i=0}^n a_i{x}_i =0$

Då undrar jag om/varför vektorn ($a_0, a_1..., a_n$) är ortogonal mot hyperplanet. I  ${\mathrm{ℝ}}^3$ gäller det då kryssprodukten av (c,0,-a) och (b,-a, 0) blir a(a,b,c) vilket såklart innebär att (a,b,c) också är ortogonal. Då måste nog också konstanten ignoreras vilket man kan göra då den inte påverkar ortogonalitet. Frågan är väl om detta kan generaliseras till ${\mathrm{ℝ}}^n$ och om det finns något mer intuitivt sätt att direkt "se" ortogonaliteten istället för att ställa upp n-1 vektorer i planet och se om alla är ortogonala mot (a0, a1..., an)