Ortogonala matriser

Hej!

Om $A$ och $B$ är ortogonala så gäller att $A^{T}=A^{-1}$. $AB$ är alltså ortogonal om $AB\left(AB\right)^T=I$. Kommer du vidare?

Då är  I = $A^{T}A$och I=$B^{T}B$

AB=$\frac{I}{A^T}\frac{I}{B^T}$=$\frac{I}{{\left(AB\right)}^T}$

då är $AB{\left(AB\right)}^T=I$

Kan man visa det så?

eliaw2 skrev:

Då är  I = $A^{T}A$och I=$B^{T}B$

AB=$\frac{I}{A^T}\frac{I}{B^T}$=$\frac{I}{{\left(AB\right)}^T}$

då är $AB{\left(AB\right)}^T=I$

Kan man visa det så?

Nej hur definierar du division mellan matriser? Nu får du vara lite noggrannare.
Använd att $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$. Då får du istället $AB\left(AB\right)^T=ABB^{T}A^{T}=...$. 

Fortsätter du själv härifrån? Glöm inte att $A$ och $B$ är ortogonala.

Moffen skrev:

Hej!

Om $A$ och $B$ är ortogonala så gäller att $A^{T}=A^{-1}$. $AB$ är alltså ortogonal om $AB\left(AB\right)^T=I$. Kommer du vidare?

Anser du att detta är ett tillbörligt bevis:

AB(AB)^T =AB(B^T*A^T)= AB(B^-1*A^-1) = I?

Ja det ser bättre ut, nu har du visat att $\left(AB\right)^T=\left(AB\right)^{-1}$. Om man vill kan man kanske ta det ett steg längre och skriva $AB\left(B^{-1}A^{-1}\right)=AA^{-1}=I$, men det är en smaksak.

Moffen skrev:

Ja det ser bättre ut, nu har du visat att $\left(AB\right)^T=\left(AB\right)^{-1}$. Om man vill kan man kanske ta det ett steg längre och skriva $AB\left(B^{-1}A^{-1}\right)=AA^{-1}=I$, men det är en smaksak.

 Hmm... varför försvinner B:na i det näst sista uttrycket?

BB^-1 =  I