Ortogonala komplementet och skalärprodukt

ffelicia8 skrev:

Hej, sitter med en uppgift som jag har svårt att förstå mig på trots att jag kollat facit.

För det första undrar jag om de lagt $\overline{x}$ i högerleder i matrisen, alltså om de tre första vektorerna är lika med $\overline{x}$?

Ja, ungefär. De undrar om vektorn x är en linjärkombination av övriga vektorer, dvs. om det finns några värden på a, b och c som uppfyller att:

$a·\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]+b·\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]+c·\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

vilket vi kan skriva om till matrisekvationen 

$\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

och det kan vi förenkla till 

$\left[\begin{array}{ccccc}1& -1& 0& |& 0\\ 1& 2& 1& |& 0\\ 0& 1& 1& |& 1\\ 1& 0& 1& |& 0\\ 1& 1& 2& |& 0\end{array}\right]$

Och gausseliminera. 

För det andra, menar dem att vektorerna i spannet (S) är de tre linjärt oberoende vektorerna från början eller menar dem de tre vektorerna på de tre första raderna efter att de har gausseliminerat? 

Det gäller båda två. Gausseliminering förändrar inte beroenden mellan vektorer. :)

Till sist, de menar att $\overline{x}$ inte ligger i $S^{\perp }$ men om man istället tar $\overline{x}$ skalärt med den första kolumnen i S så får man att skalärprodukten =0, så varför väljer de just den andra?

Tacksam för svar!

De prövar alla tre vektorer.

(De vill undersöka om x ligger i det ortogonala komplementet till S. Detta gör de genom att undersöka om vektorn x är vinkelrät/ortogonal mot S. För att göra detta behöver vi ha en bas till S, och det har vi genom de tre vektorerna i spannet) 

De kontrollerar detta genom att kontrollera att x är ortogonal mot alla tre basvektorerna i S, med en skalärprodukt. För den första vektorn är skalärprodukten noll (dvs. x är ortogonal mot den första vektorn), men för de andra två vektorerna är skalärprodukten nollskild, så x är inte ortogonal mot hela basen.