Ortogonala basbyten

Hej! Uppgiften lyder:

"4.9 Antag att (e1, e2) är en positivt orienderad ortonormerad bas i planet. Inför en ny bas (e1', e2') genom att vrida e1 och e2 vinkeln pi/4 moturs. Bestäm den 2x2-matris S för vilken X' = SX där X och X' är koordinatmatriserna för samma vektor i (e1, e2) respektive (e1, e2)"

Jag uttrycker först e1' och e2' med hjälp av e1 och e2 och får därmed:

$e 1' = \frac{1}{\sqrt{2}} e 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} e 2 e 2' = - \frac{1}{\sqrt{2}} e 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} e 2$

Sen skriver jag upp matriserna X'=SX för att beskriva e1' och e2':

$(\begin{matrix} e 1' \\ e 2' \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} e 1 \\ e 2 \end{matrix})$

och får S = $\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$

I facit står det att svaret ska vara:

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$

Varför?

Såhär förstår jag frågan. Givet en vektor V som representeras med koordinatmatrisen X i basen (e1, e2). I basen

(e1', e2') kommer V representeras med koordinatmatrisen X'. Sambandet mellan X' och X är X' = SX . Bestäm matrisen S. Om koordinatmatrisen för en vektor transformeras med matrisen M så transformeras basen med inversen av M. Du har tagit fram matrisen som ger basen (e1', e2') från basen (e1, e2). Inversen av den matrisen är alltså den matris som ger koordinatmatrisen X' från koordinatmatrisen X. Det är skillnad på transformera en bas och transformera en vektors koordinatmatris i basen.

Aerius skrev:
Såhär förstår jag frågan. Givet en vektor V som representeras med koordinatmatrisen X i basen (e1, e2). I basen
(e1', e2') kommer V representeras med koordinatmatrisen X'. Sambandet mellan X' och X är X' = SX . Bestäm matrisen S. Om koordinatmatrisen för en vektor transformeras med matrisen M så transformeras basen med inversen av M. Du har tagit fram matrisen som ger basen (e1', e2') från basen (e1, e2). Inversen av den matrisen är alltså den matris som ger koordinatmatrisen X' från koordinatmatrisen X. Det är skillnad på transformera en bas och transformera en vektors koordinatmatris i basen.

Hur löser jag denna uppgift då?

Är verkligen minustecknet på rätt ställe på det som står i facit?

Om inversen av S avbildar basen (e1, e2) på basen (e1', e2') och X är en koordinatmatris av en vektor given i basen (e1, e2). Då avbildar S koordinatmatrisen X på koordinatmatrisen X', där X' är koordinatmatrisen för vektorn given i basen (e1', e2')

Svara

Visa senaste svar