Ortogonal = rätvinklig?

Synonymer. Olika stilnivå, kanske.

I en del vektorrum med skalärprodukt, t.ex. rum av funktioner, så säger man inte så ofta "rätvinklig".

Och en rätvinklig triangel kallas inte ortogonal.

Polynomen $f(x)=1$ och $g(x)=x$ möttes under rät vinkel på intervallet $[-1,1]$ en ljum försommarkväll i slutet av maj.

Jroth skrev:

Polynomen $f(x)=1$ och $g(x)=x$ möttes under rät vinkel på intervallet $[-1,1]$ en ljum försommarkväll i slutet av maj.

Hahaha

edit: men vad menar du? de möts väl inte ortogonalt?

Qetsiyah skrev:

edit: men vad menar du? de möts väl inte ortogonalt?

Det beror på, man måste först definiera en inre produkt. Ett exempel på en sådan är

$\displaystyle <f,g>=\int_{-1}^1 f(x)g(x)dx$

Med inre produkten ovan så är funktionerna ortogonala.  Att kurvorna inte skär varandra i rät vinkel hör inte dit. 

Så pass!

Ja just det ja, för frågeställaren så betyder det att du får sluta tänka på vektorer som ordnade tal eftersom andra saker där ingen geomterisk tolkning finns så är fortfarande ortogonalitet tillämpbart. Som i Dr, Gs exempel. Förstår du det?

I Rn (egentligen bara i R3) betyder ortogonal samma som rätvinklig, men det finns andra vektrorrum där man också kan definiera en inreprodukt och därmet finns ortogonalitet.

Ortogonalitet är en bredare term än rätvinklig, eller? Någon annan som får bekräfta det

Varje gång man har en inre produkt $\langle\cdot,\cdot\rangle$ på ett vektorrum $V$ så kan man införa ett vinkelbegrepp, som generaliserar det vanliga vinkelbegreppet. Det är kanske inte så otroligt användbart i praktiken, men det gör det möjligt att tänka på inre produkter i termer av vinklar på ett sätt som är ganska trevligt.

Det vi gör, är helt enkelt att vi säger vinkeln mellan två vektorer $u,v\in V$ är

   $\displaystyle \angle{(u,v)}=\arccos\left(\frac{\langle u,v\rangle}{\Vert u\Vert \Vert v\Vert}\right)$   (där $\,{\Vert x\Vert} =\sqrt{\langle x,x\rangle}\,$ för alla $x\in V$).

En rätt häftig sats som man lär sig i en första LinAlg-kurs är att om $V$ är $\mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$, och $\langle\cdot,\cdot\rangle$ är den vanliga skalärprodukten, så kommer detta vinkelbegrepp precis att sammanfalla med vårt vanliga geometriska vinkelbegrepp. (Jag tycker fortfarande att det vid första anblicken känns som ett mirakel att summan av de komponentvisa produkterna av två vektorers koordinater skulle ha någonting med vinkeln emellan dem att göra.)