Ortogonal projektion (linjär algebra)

"Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P:(1,-2,0) på linjen l:(x,y,z,)=t(1,2,-2)." (Linjär algebra, Kapitel 2: Vektorer som geometriska objekt)

Svar: $- \frac{1}{3} (1, 2, - 2)$

Jag är rätt säker på att jag kan klara av att räkna ut själva projektionen, men det är det första steget att skriva om linjen till normalform (det kanske egentligen inte behövs? Men det är utifrån normalformen jag lärt mig att hitta projektioner.) I föregående uppgifter och i lärobokens exempel när man ska skriva om från parameterform till normalform, finns det alltid också termer utan parametrarna s och t. Då brukar man bara lösa ut s och t och sätta in dem i nån utav ekvationerna och på så sätt få en linje på formen a(x-a0)+b(y-b0)+c(z-c0)=0, och därifrån kan jag hitta den ortogonala ekvationen. Jag förstår inte riktigt hur jag ska finna normalekvationen när jag bara har termer med t.

Om linjen går genom origo kanske man är lat och inte skriver ut (0,0,0)...

Smulan skrev:
Då brukar man bara lösa ut s och t och sätta in dem i nån utav ekvationerna och på så sätt få en linje på formen a(x-a0)+b(y-b0)+c(z-c0)=0

Det du beskriver ovan är ekvationen för ett plan i R3.

Här är det "bara" att projicera en given vektor på en annan given vektor (m.h.a skalärprodukt).

Tack då förstår jag hur jag ska tänka. Får dock ändå inte bukt på det, har kontrollerat uträkningarna flera gånger. Måste ju isåfallvara något jag har missat att göra?

Vad är uppgiften?

l’ är ett plan genom origo som är vinkelrät mot linjen l.

$[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}]$ + t $[\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix}]$ är en linje genom P som är parallell med linjen l.

Så vad du räknar ut är den ortogonala projektionen av punkten P på ett plan som är vinkelrät mot l. Vad som efterfrågas är den ortogonala projektionen av P på linjen l. Ett helt annat djur.

Åh okej, då vet jag verkligen inte vad jag ska göra. Tack ändå!

Smulan skrev:
Åh okej, då vet jag verkligen inte vad jag ska göra. Tack ändå!

Ett sätt, om du vill använda en liknande approach, är att först bestämma ekvationen för ett plan som är vinkelrät mot linjen l och som går genom punkten P. Sedan tar du reda på skärningspunkten mellan detta plan och linjen l.

Ett annat sätt är att använda projektionsformeln

proj_$\vec{e}$( $\vec{v}$ ) = ( $\vec{v}$ • $\vec{e}$ ) $\vec{e}$ / ${|\vec{e}|}^{2}$ . Här är $\vec{e}$ någon vektor parallell med linjen l och $\vec{v}$ ortsvektorn till punkten P.

Ett tredje sätt är utnyttja ditt redan framräknade resultat. Vad får du om du räknar ut

(1, -2, 0) - $\frac{1}{3}$ (4, -4, -2)? Rita figur och tolka resultatet.

Svara

Visa senaste svar