Ortogonal projektion i underrum

Hej!

Uppgift:

Låt $y = [\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 1 \end{matrix}], u_{1} = [\begin{matrix} 2 / 3 \\ 1 / 3 \\ 2 / 3 \end{matrix}], u_{2} = [\begin{matrix} - 2 / 3 \\ 2 / 3 \\ 1 / 3 \end{matrix}]$ och $W = S p a n n \{u_{1}, u_{2}\}$ .

Beräkna $p r o j_{w} y$ .

Lösning:

$p r o j_{w} y = a u_{1} + b u_{2} = \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 a - 2 b \\ a + 2 b \\ 2 a + b \end{matrix}]$

Eftersom projektionen är ortogonal mot W så gäller att

$\{\begin{cases} p r o j_{w} y \cdot v_{1} = 0 \\ p r o j_{w} y \cdot v_{2} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 a - 2 b \\ a + 2 b \\ 2 a + b \end{matrix}] \times \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 & 1 & 2 \end{matrix}] = \frac{4}{9} a - \frac{4}{9} b + \frac{1}{9} a + \frac{2}{9} b + \frac{4}{9} a + \frac{2}{9} b = 0 \\ \frac{1}{3} [\begin{matrix} 2 a - 2 b \\ a + 2 b \\ 2 a + b \end{matrix}] \times \frac{1}{3} [\begin{matrix} - 2 & 2 & 1 \end{matrix}] = - \frac{4}{9} a + \frac{4}{9} b + \frac{2}{9} a + \frac{4}{9} b + \frac{2}{9} a + \frac{1}{9} b = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow p r o j_{w} y = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$

men svaret är att $p r o j_{w} y = 6 u_{1} + 3 u_{2} = [\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}]$ .

Så a = 6 och b = 3. Jag förstår inte hur jag har tänkt fel här. Någon som kan hjälpa mig?

...och nu när jag läste den igen efter att ha lagt upp tråden så ser jag att jag har sagt att projektionen av y är ortogonal mot W, vilket såklart inte stämmer.

Jag hade nog projicerat y på (u1 kryss u2) och sedan dragit bort den projektionen från y. Man kan dock även lösa uppgiften på andra sätt.

I det här fallet hade man tydligen en given ON-bas i underrummet. Då är det "bara" att projicera y på varje basvektor och sedan lägga ihop resultatet.

Är du med på varför?

Svara

Visa senaste svar