Ortogonal matris

Ja, det finns lite olika sätt att skapa en ortogonal vektor.

I det här fallet är det enklast (tycker jag) att beräkna kryssprodukten mellan $(2, -5, -9)^T$, och $(2, -1, 1)^T$ och sedan normera den resulterande vektorn.

Det blev rätt :) Kan du förklara lite hur du tänkte och lite tips på hur man kan göra på andra sätt?

När man beräknar kryssprodukten mellan två vektorer $u$ och $v$, så får man alltid en vektor som är ortogonal mot både $u$ och $v$. $(u \times v) \cdot u = (u \times v) \cdot v = 0$

Men, kryssprodukten är bara definierad i $\mathbb{R}^3$.

Ett annat sätt:

$v_3 = (a, b, c)^T$

$(2, -5, -9)^T \cdot v_3 = 2a -5b -9c = 0$ (1)

$(2, -1, 1)^T \cdot v_3 = 2a-b + c = 0$ (2)

(1) - (2): $-4b-10c = 0 \Rightarrow c = -4b/10$

(1) + $9 \cdot$ (2): $20a - 14b = 0 \Rightarrow a = 14b/20$

Sätt $b=20$, $V_3 = (14, 20, -8)^T$, och normera:

$v_3 = \frac{1}{2 \sqrt{165}} (14, 20, -8)^T$

Om jag skall bestämma en matris för ortogonal projektion på ett plan, hur skulle jag göra då? Har fastnat på en sådan uppgift. Får ett plan, 2x-5y+2z=0, givet. 

Har löst uppgifter i min kurslitteratur där jag skall bestämma ortogonala projektioner på ett plan, dock får man givet tre vektorer då vanligtvis, u1, u2 och y.

Du har att en normal $n$ till planet ges av $n \doteq (2, -5, 2)^T$ i basen $\{ e_1, e_2, e_3 \}$. 

Projektionen av en godtycklig vektor $x$ kan beskrivas av 

$T(x) = x - \frac{x \cdot n}{n \cdot n} n$

Givet dina tre basvektorer $e_1$, $e_2$, $e_3$, så kan du bestämma avbildningsmatrisen $P$, enligt

$P = ([T(e_1)] \:\: [T(e_2)] \:\: [T(e_3)])$

Hmm.... vet att det finns en sats i min bok som säger att:

y0 = (y*u1/(u1*u1))+.......+(y*up)/(up*up)up

där y0 är ortogonala projektionen av y på underrummet W

Är n i din formel normalvektorn? Isåfall varför och hur vet man detta?

Säg att normalvektorn $n = (A,B,C)$, och vi har en fix punkt som ligger i planet $(x_0, y_0, z_0)$. För en annan punkt $(x, y, z)$ som också ligger i planet, har vi att $v = (x-x_0, y-y_0, z-z_0)$ är parallell med planet. 

$n \cdot v = A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$

så 

$Ax +By + Cz - (Ax_0 +By_0 +Cz_0) = 0$

Så kan vi få normalvektorn.

Istället för att projicera ner på planet direkt, kan man ju projicera på normalvektorn, och dra bort det från den ursprungliga vektorn. 

Stort tack för hjälpen!!