Ortogonal matris

Jag fick fram att egenvärdena är 1 och 3 och att egenvektorerna är [0,1,0]^T, [1,0,1]^T, [-1, 0, 1]^T vilket stämmer med det lösningen kom fram till, då tänkte jag att den ortogonala matrisen P utgörs av egenvektorerna för varje kolumn så att P = $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right]$ eftersom egenvektorerna är ortogonala mot varandra i och med att matrisen A är symmetrisk. Men i facit står det

P = $\left[\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2}& 0& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0& 1& 0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& 0& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$

varför är inte mitt svar rätt? Och vad har man gjort för att få fram svaret i facit?