8 svar
1306 visningar
Richard.C behöver inte mer hjälp
Richard.C 34 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 20:33

Ortogonal matris

Har lite svårigheter med att veta hur jag skall gå tillväga.. vet att om matrisen ska vara ortogonal så skall v1*v2= 0     v1*v3=0            v2*v3=0 och om den ska vara ortonormal så ska det vara v1*v1=1 osv... Är det meningen att jag skall använda detta på något sätt?

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 20:41 Redigerad: 27 feb 2018 20:45

Ja, det finns lite olika sätt att skapa en ortogonal vektor.

I det här fallet är det enklast (tycker jag) att beräkna kryssprodukten mellan (2,-5,-9)T (2, -5, -9)^T , och (2,-1,1)T (2, -1, 1)^T och sedan normera den resulterande vektorn.

Richard.C 34 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 20:51

Det blev rätt :) Kan du förklara lite hur du tänkte och lite tips på hur man kan göra på andra sätt?

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 21:10 Redigerad: 27 feb 2018 21:13

När man beräknar kryssprodukten mellan två vektorer u u och v v , så får man alltid en vektor som är ortogonal mot både u u och v v . (u×v)·u=(u×v)·v=0 (u \times v) \cdot u = (u \times v) \cdot v = 0

Men, kryssprodukten är bara definierad i 3 \mathbb{R}^3 .

Ett annat sätt:

v3=(a,b,c)T v_3 = (a, b, c)^T

(2,-5,-9)T·v3=2a-5b-9c=0 (2, -5, -9)^T \cdot v_3 = 2a -5b -9c = 0 (1)

(2,-1,1)T·v3=2a-b+c=0 (2, -1, 1)^T \cdot v_3 = 2a-b + c = 0 (2)

(1) - (2): -4b-10c=0c=-4b/10 -4b-10c = 0 \Rightarrow c = -4b/10

(1) + 9· 9 \cdot (2): 20a-14b=0a=14b/20 20a - 14b = 0 \Rightarrow a = 14b/20

Sätt b=20 b=20 , V3=(14,20,-8)T V_3 = (14, 20, -8)^T , och normera:

v3=12165(14,20,-8)T v_3 = \frac{1}{2 \sqrt{165}} (14, 20, -8)^T

Richard.C 34 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 22:34

Om jag skall bestämma en matris för ortogonal projektion på ett plan, hur skulle jag göra då? Har fastnat på en sådan uppgift. Får ett plan, 2x-5y+2z=0, givet. 

Har löst uppgifter i min kurslitteratur där jag skall bestämma ortogonala projektioner på ett plan, dock får man givet tre vektorer då vanligtvis, u1, u2 och y.

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 22:53 Redigerad: 27 feb 2018 23:00

Du har att en normal n n till planet ges av n(2,-5,2)T n \doteq (2, -5, 2)^T i basen {e1,e2,e3} \{ e_1, e_2, e_3 \}

Projektionen av en godtycklig vektor x x kan beskrivas av 

T(x)=x-x·nn·nn T(x) = x - \frac{x \cdot n}{n \cdot n} n

Givet dina tre basvektorer e1 e_1 , e2 e_2 , e3 e_3 , så kan du bestämma avbildningsmatrisen P P , enligt

P=([T(e1)][T(e2)][T(e3)]) P = ([T(e_1)] \:\: [T(e_2)] \:\: [T(e_3)])

Richard.C 34 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 23:23

Hmm.... vet att det finns en sats i min bok som säger att:

 

y0 = (y*u1/(u1*u1))+.......+(y*up)/(up*up)up

där y0 är ortogonala projektionen av y på underrummet W

Är n i din formel normalvektorn? Isåfall varför och hur vet man detta?

pi-streck=en-halv 497 – Fd. Medlem
Postad: 27 feb 2018 23:36 Redigerad: 27 feb 2018 23:37

Säg att normalvektorn n=(A,B,C) n = (A,B,C) , och vi har en fix punkt som ligger i planet (x0,y0,z0) (x_0, y_0, z_0) . För en annan punkt (x,y,z) (x, y, z) som också ligger i planet, har vi att v=(x-x0,y-y0,z-z0) v = (x-x_0, y-y_0, z-z_0) är parallell med planet. 

n·v=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 n \cdot v = A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0

så 

Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)=0 Ax +By + Cz - (Ax_0 +By_0 +Cz_0) = 0

Så kan vi få normalvektorn.

Istället för att projicera ner på planet direkt, kan man ju projicera på normalvektorn, och dra bort det från den ursprungliga vektorn. 

Richard.C 34 – Fd. Medlem
Postad: 28 feb 2018 00:23

Stort tack för hjälpen!!

Svara
Close