Orimligt bevis till linjärt oberoende

Hej, förstår inte hur de kan komma fram till att {v1,v2,…,vk} är linjärt oberoende. Tycker det är konstigt att de börjar med att visa att för att alla vektorer till och medl v_{k-1} ska vara linjärt oberoende måste dess koefficienter vara 0. Sedan när de ska visa att alla vektorer till och med v_k är linjärt oberoende så utgår de från att alla koefficienter till alla vektorer till och med v_{k-1} är 0. Det är som att jag ska visa att vektorerna (1,0) (0,1) och (1,1) är linjärt oberoende genom att först utgå från att koefficienterna till (1,0) och (0,1) ska vara 0 för att summan av de ska vara 0, och därmed är de linjärt oberoende. Sedan när jag ska visa att alla tre är linjärt oberoende utgår jag ifrån att koefficienten framför de nyss nämnda är 0 och eftersom (1,1) inte är 0-vektorn måste koefficienten framför vara 0 för att summan av alla ska vara 0, och därmed är de linjärt oberoende. Förstår ni vad jag menar?

Hej!

Till att börja med blir det ju lite trivialt med ditt exempel då du har tre vektorer i $\mathbb{R}^{2}$ , så du kan max ha två stycken linjärt oberoende vektorer. Det var det du ville poängtera, ursäkta mig.

För det andra så antar vi att $v_{i}$ är egenvektorer till $T$ med tillhörande egenvärden $\lambda_{i}$ . Jag vill påstå att detta alltså inte gäller i det allmänna fallet (men någon får gärna rätta mig om man kan hitta en linjär avbildning givet en mängd vektorer och skalärer sådana att dessa utgör egenvärdena och egenvektorerna till den givna linjära avbildningen) utan i det fall då vi begränsar oss till att $v_{i}$ är egenvektorer och $\lambda_{i}$ är egenvärden till en given linjär avbildning.

Så i ditt exempel skulle vi alltså först behöva ställa oss frågan "finns det en linjär avbildning $A$ sådan att dina tre vektorer är egenvektorer till $A$ svarande mot olika egenvärden" (det kan det inte finnas, då du bara kan ha max två olika egenvärden i ditt fall)? Först efter att vi har bekräftat att det finns kan vi använda din sats.

Svara