Origo Ma4 uppgift 4116

Bra skiss och bra början på analysen!

Försök att hitta ett samband mellan k och a.

Formulera sedan ett uttryck för arean A som endast beror av k (eller m).

Det är detta uttryck du sedan ska minimera.

Hur hittar jag ett samband mellan k och a?

Förlåt jag menar k och m.

Kan man tänka att 

m= a/(k*2a) =>

m= 1/2k

Hur kommer jag vidare?

Nej hur får du det?

Du har ju att a = 2ak+m

Det ger dig att m = a-2ak, dvs att m = a(1-2k)

Tag nu fram ett uttryck för arean A som endast beror på m (och a).

Tillägg: 20 feb 2022 09:46

Om du vill att arean A endast ska bero på a och m så är det bättre att lösa ut k istället för m ur sambandet a = 2ak+m.

Okej m=a(1-2k) 

vi har att y=kx+m 

vi sätter in punkten (2a,a) då blir det 

a=k*2a+ (a(1-2k)) 

om jag bryter ut ett a då blir det 

a= a(2k+(1-2k))

delar med a på bägge sidor

1= 2k+1-2k … Ok. Nu ser jag att det är fel tänkt. Vet inte hur jag ska tänka 

Linjen har ekvationen y =kx+m

Linjen skär y-axeln då x = 0, dvs vid y = m.

Linjen skär x-axeln vid y = 0, dvs då kx+m = 0, dvs då x = -m/k.

Triangelns bas är alltså -m/k och dess höjd är m, vilket innebär att dess area A är (-m/k)•m/2, dvs -m²/(2k).

Det uttryck vi ska minimera är alltså A = -m²/(2k).

Vi vet att punkten (2a, a) ligger på linjen, vilket betyder att a = 2ak+m.

Lös nu ut m eller k ur a = 2ak+m och ersätt m eller k i uttrycket för A.

Det ger dig en funktion A(m) eller A(k) som du alltså ska minimera.

m=a-2ak.. Kan jag använda det här uttrycket och sätta in det i A=-m²/(2k)?

Ja, så kan du göra.

(Eller så kan du lösa ut k och ersätta k i uttrycket för A.)

A=-(a-2ak)²/(2k) 

Ska jag därefter derivera det här uttrycket och sätta derivatan lika med noll för att hitta extrempunkterna?

Ja det stämmer.