Orientering vid konstruerande av ny ortonormerad bas

Hej!

Jag håller på med en uppgift som går ut på att man utifrån ett plan uttryckt i standardbasen, ska konstruera en ny ortonormerad bas. Jag är med på hur själva uppgiften utförs, men upptäckte att basen jag konstruerar blir negativt orienterad. Såhär har jag gjort:

Uppgiften: Planet π ges av x − 2y + 2z = 0 i standardbasen. Bestäm en ny positivt orienterad
ortonormerad bas e-hatt1, e-hatt2, e-hatt3 sådan att π får ekvationen z-hatt = 0.

Sätter e-hatt3 till den ortonormerade normalen till planet, dvs 1/3(1,-2,2).

Väljer en valfri vektor som uppfyller planets ekv och sätter den till e-hatt2, ex 1/3(2,-1,-2).

Bestämmer e-hatt1 genom kryssprodukten e-hatt2 x e-hatt3, dvs 1/3(2,2,1).

Jag hade fått för mig att jag just bestämmer e-hatt2 före e-hatt1 för att basen ska bli positivt orienterad, men det gäller ju tydligen inte i detta fallet. Vad finns det för minnesregler för att se till så att basen är positivt orienterad? Jag har försökt med högerhandsregeln men fattar inte riktigt hur jag ska tänka med kryssprodukten, dvs vilka fingrar som är vilka vektorer.

Tacksam för all hjälp!

Edit: kan tillägga att det står i facit att "eftersom ˆe2, ˆe3, ˆe2 × ˆe3 positivt orienterad ⇔ ˆe2 × ˆe3, ˆe2, ˆe3 positivt orienterad."