ordning av element

Hej

jag har fastnat på följande uppgift där man ska beräkna ordningen av element och skulle behöva lite hjälp:

Bestäm ordningen av vart och ett av följande element i respektive kvotgrupp:

a) $8 + 12 ℤ \in ℤ / 12 ℤ$

b) $2 + <3> \in ℤ_{18} / <3>$

Jag vet från facit att svaret till a uppgiften ska bli 3.

Jag har också en formel som säger att om $a N \in G / N$ är av ändlig ordning m, så är m det minsta positiva heltalet som uppfyller ${(a N)}^{m} = 1_{G / N}$ så m är alltså det minsta positiva heltalet med egenskapen $a^{m} N = N$ .

Som jag förstår det så har vi i a uppgiften att a=12 och N=Z så vi får då $12^{m} ℤ = ℤ$

Eftersom grupperna är additiva så ska du alltså bestämma det minsta positiva heltal n så att

$8n + 12\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z}$

Så när du har att $n = 3$ så får du ju att $8n = 24$ så då är

$24 + 12\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z}$

Alltså är ordningen 3 (då n = 1 eller 2 inte hade fungerat).

Samma sätt på b) uppgiften.

jag förstår inte, hur vet man att det ska bli 24? vi har 8n från början och ska lösa n så att $8 n + 12 ℤ = 12 ℤ$ provar vi att sätta in olika värden på n får vi tex 8+12z=12z eller för n=2 får vi 16+12z=12z, när vi då slutligen provar n=3 får vi 24+12z=12z ska vi alltså använda att 12Z+12Z=24Z?

Det gäller alltså att

$24 + 12\mathbb{Z} = 12\mathbb{Z}$

eftersom 24 är en multipel av 12, så att addera det till mängden kommer inte förändra den. Men om du bara hade adderat 8 eller 16 så hade du ju fått en annan mängd.

okej men tittar man på b uppgiften så blir det ju lite annorlunda, det enda gemensamma vi har är ju $<3>$

sedan har vi 2 som konstant istället för 8, ska vi då ha 6+ $<3> = <3>$

Ja för den får du ju ordningen 3, eftersom då du adderar det 3 gånger så får du identiteten.

Svara

Visa senaste svar