Ordning

Ordningen på (2, 1) är inte 3, utan om du räknar 3*(2, 1) = (6, 3) = (2, 0) vilket inte är lika med (0, 0). Ordningen på (2, 1) är 6, verifiera detta!

jag är inte riktigt med, hur får du fram att ordningen av (2,1) blir 6 ? 

Det är alltså en additiv grupp, så du ska hitta så det minsta heltalet n så att

$n\cdot (2, 1) = (0, 0)$

Detta betyder alltså att $2n \equiv 0 \text{ (mod 4)$ och $n \equiv 0 \text{ (mod 3)}$. Här ser du alltså att n måste vara delbar med 3 och sedan måste n vara jämn. Det minsta talet som uppfyller detta är 6. Så detta är alltså ordningen på (2, 1).

Annars kan du bara testa, n = 1, 2, 3, 4 osv tills du hittar när du får (0, 0).

okej då är jag med, men om man istället hade haft en multiplikativ grupp skulle man då ha satt $2n\equiv 1$ ?

Nej då hade du ju istället haft $2^n \equiv 1$.

Det abstrakta sättet att säga vad ordningen är för $a$ är att det är det minsta positiva heltal n sådant att $a^n = 1$. Men här har man alltså att $a^n$ bara betyder att man upprepar grupp operatorn n stycken gånger.

Så i en additiv grupp så säger detta att n är det minsta positiva heltal så att $na = 1$, eftersom man bara adderar a n stycken gånger, men i en multiplikativ grupp blir det istället $a^n = 1$, eftersom här multiplicerar man a n stycken gånger.

okej då tror jag att jag förstår, för min sista uppgift så skulle jag ha 

Så då tar jag $2n\equiv 0\left\{\right(mod6\left)\right\}$ och $2^n\equiv 1\left\{\right(mod7\left)\right\}$ och får att n=3 och då har jag 6*7= 42 / 3= 14

Fast gruppen $\mathbb{Z}_7^*$ innehåller 6 element, så ordningen för den gruppen är bara 6, inte 7. Bortsett från det så stämmer det.