Ordning

Nej det gäller att

$\left|{\mathrm{\mathbb{Z}}}_8/<4>\right|=\frac{\left|{\mathrm{\mathbb{Z}}}_8\right|}{\left|<4>\right|}$

så du ska alltså beräkna ordningen av <4> och $\mathbb{Z}_8$ sen är det detta du ska ta kvoten av.

så ska man alltså ta att ordningen 4 av z8 är 0 och 4 och då får vi ordningen  8/2=4

Ordningen för $\mathbb{Z}_8$ är 8 och ordningen för <4> är 2 så därför är alltså ordningen för kvotgruppen 8/2 = 4.

okej då förstår jag hur man ska räkna ut ordningen då vi har grupper under addition men hur blir det annorlunda när vi har multiplikation?

i b uppgiften får vi ju ${{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}}_{18}$ så har vi då ordningen 18 och sedan  för att räkna ut ordningen för ska man inte ta 13, 13^2, 13^3... och vi ska ha kongruent med 1 som är identitetselementet under multiplikation.

Ja nu bör du veta om att du bara behöver beräkna $13^2$ och $13^3$ för att kunna avgöra ordningen för $13$. Detta eftersom ordningen för 13 måste dela $\varphi(18) = 6$, så antingen är ordningen 2, 3 eller 6.

Men tar man och beräknar ordningen för $13$ så får man att den är 3, alltså är ordningen för kvotgruppen 6/3 = 2.

där är jag inte riktigt med tyvärr.

var fick vi informationen om att $\phi \left(18\right)=6$ ?

Är det eftersom ordningen för 13 måste dela 6 och därför har vi bara de möjliga fallet 2,3,6 som vi bara behöver räkna 13^2 och 13^3?

Här menar jag alltså att $\varphi$ är Eulers phi-funktion. Du har alltså att ordningen på ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_{18}^{*}$ är $\varphi(18) = 6$. Sedan vet du ju att <13> är en undergrupp till denna, och ordningen på en undergrupp måste dela ordningen på gruppen. Alltså måste ordningen till 13 dela 6, därför kan den endast vara 2, 3 eller 6.

Eftersom du bara har att ordningen för 13 kan vara 2, 3 eller 6, så räcker det att räkna ut vad $13^2$ och $13^3$ är, antingen är någon av dem 1 och då har du att detta är ordningen. Eller så är ingen av dem 1 och då är ordningen 6.

okej så vi har att för ${{\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}}_{18}$ får vi talen som är relativt prim (1,5,7,11,13,17)=6 

Därför måste undergruppen 13 ha en ordning som är kongruent med 6.

Sedan får vi att 13^2 mod 18=7 och 13^3 mod 18=1, får vi då av det att ordningen för 13 blir 3?

och sedan delar vi 6/3=2

Ja det stämmer, men man säger att ordningen för 13 måste dela 6. (inte är kongruent med)