Ordna ledighet

Hur många kombinationer finns det om vi bortser från villkoret att lördag och söndag inte båda får vara med? Med andra ord, hur många sätt kan vi välja två objekt ur en mängd på 7? Är det med eller utan repetition, med eller utan hänsyn till ordning? (Ställ dig denna sista fråga varje gång du är det minsta osäker på vad för typer av kombinationer du räknar!)

Hur många av dessa är ogiltiga, dvs. i hur många av dessa är både lördag och söndag valda?

Svaret blir då det du fick i den första frågan minus det du fick i den andra.

Totalt antal möjliga kombinationer utan hänsyn till villkoret är P(7,2) = 42

Lördag + söndag

Söndag + lördag ger 2 otillåtna fall. 

Svaret är 20, men jag får det till 40. Vart är det jag tänker fel?

Du har räknat rätt men under antagandet att ordningen spelar roll. I detta fall spelar det t.ex. ingen roll om vi först väljer måndag och sedan tisdag eller tvärtom. I båda fallen är vi lediga måndag tisdag. Du kan dela ditt svar på 2! för att kompensera för att du räknat varje val "dubbelt", eller använda binomialkoefficienter.

Hade frågan istället varit "Adrian får välja två lediga dagar och planerar att åka skridskor en av de lediga dagarna och spela datorspel den andra lediga dagen. På hur många sätt kan Adrian planera sin vecka om han inte vill ha både lördag och söndag som sina lediga dagar?"

ja, då hade ditt svar varit korrekt.

Jag förstår inte. Jag räknade C(7,2) eftersom att ordning inte spelade någon roll och sedan tog jag det minus 2 (de 2 otillåtna fallen) men får fortfarande fel. 

Eller räknas de otillåtna fallen som ett enda fall eftersom att ledigheten blir lördag och söndag oavsett?

L123 skrev:

Eller räknas de otillåtna fallen som ett enda fall eftersom att ledigheten blir lördag och söndag oavsett?

Exakt så! När du räknar utan hänsyn till ordning blir de två fallen till ett och detsamma.

Då är jag med. 

men jag undrar ifall du kan förklara bokens lösning. I facit står det ((7*6)/2!) -1

också, det här med att dela med 2! för att få bort de "dubbla valen", kan jag alltid använda det? eller är det något specifikt för vissa fall?

De subtraherar med 1 eftersom att 1 av valen i mängden (7*6)/2! är valet [lördag, söndag]. Och detta var ett ej giltigt val.

Angående divisionen: låt oss ta ett annat exempel: Adrian skall välja ut 6 dagar per vecka att vara ledig; på hur många sätt kan han göra det?

Detta kan man betrakta genom att tänka att han väljer 1 dag att inte vara ledig på, och då inser man att det finns 7 möjligheter. Men om vi inte inser det så skall vi välja ut 6 dagar att vara ledig på. Detta sker på 7*6*5*4*3*2 vis. Men då har vi fått vissa val som är helt identiska, t.ex. betraktar vi då [mån, tis, ons, tors, fre, lör] som ett helt annat val än [lör, mån, tis, ons, tors, fre] eller [mån, tors, ons, fre, tis, lör]. Eftersom den inbördes ordningen av de 6 valda dagarna inte skall spela roll så får vi fråga oss på hur många av dem som vi egentligen fick samma resultat. En vald uppsättning dagar kan då ha valts ut på 6! vis så vi får dividera med 6!.

7*6*5*4*3*2/(6!) = 7*1 vilket är det vi fick om vi betraktade det som att man valde ut en dag att inte vara ledig på, så det stämmer.

Så svaret på din fråga är att man får tänka efter vad som gäller för uppgiften.

7*6=P(7,2) är antalet sätt att välja ut två dagar i ordning. För varje val kan de två dagarna vi valt ordnas på 2! = 2 olika sätt. Det betyder att talet 7*6 räknar varje oordnat val 2! = 2 gånger (vi räknar valen måndag-tisdag, tisdag-måndag som två olika, etc.). Vi vill bara räkna de oordnade valen en gång, så om vi delar med faktorn 2 får vi att antalet olika oordnade val blir $\frac{7\cdot 6}{2!}$.

Hade vi valt tre dagar hade vi fått 7*6*5 och 3! istället. För tre dagar kan ordnas på 3! olika sätt, och bryr vi oss inte om ordningen så är alla dessa sätt en och densamma val.

Mer generellt så kan vi skriva detta samband som att

$C(n, k) =\frac{P(n, k)}{k!}$.

Så om jag nu har förstått rätt, så gäller detta:

Om jag inte vill räkna med de oordnade valen flera gånger så räknar jag p(n,k) och sedan dividerar med k! 

Egentligen blir det då exakt samma sak som att räkna c(n,k) där ordningen då inte har någon betydelse

L123 skrev:

Så om jag nu har förstått rätt, så gäller detta:

Om jag inte vill räkna med de oordnade valen flera gånger så räknar jag p(n,k) och sedan dividerar med k! 

Egentligen blir det då exakt samma sak som att räkna c(n,k) där ordningen då inte har någon betydelse

Precis, se sambandet i slutet på mitt förra inlägg.