Ordna i storleksordning

Börja med att skriva om $4^{15}$ till $(2^2)^{15}=2^{30}$. Därefter behöver vi fokusera på exponenterna. Eftersom $5^6$ har en exponent som är mycket mindre än de andra, samtidigt som skillnaderna i basernas storlek är ganska små, kan vi med ganska stor säkerhet säga att det talet är minst.

Då är frågan om hur vi ska ordna de andra talen. Om du gissar, hur tror du att de ska ordnas? Varför? :)

Smutstvätt skrev:

Börja med att skriva om $4^{15}$ till $(2^2)^{15}=2^{30}$. Därefter behöver vi fokusera på exponenterna. Eftersom $5^6$ har en exponent som är mycket mindre än de andra, samtidigt som skillnaderna i basernas storlek är ganska små, kan vi med ganska stor säkerhet säga att det talet är minst.

Då är frågan om hur vi ska ordna de andra talen. Om du gissar, hur tror du att de ska ordnas? Varför? :)

4^15, 3^18, 2^24, 5^6 ??

Oj,oj,oj den här var jobbig. Jag hoppas att det finns enklare metoder än min.

Om vi börjar med minsta 5⁶= 5²* 5²* 5² = 25*25*25 Lägsta är 20³= 8000, högsta är 30³=27000.

Nästa i storlek är $2^{24}=2^{10}·2^{10}·2^4=1024·1024·16$(För att räkna ut 2¹⁰ så använder jag fingrarna. Första fingret 2, nästa 4, nästa 8 osv. det är inte jätteavancerad huvudräkning om man tänker efter litet)
Minsta blir då $1000·1000·16=16 000 000$största blir $1100·1100·20=1 210 000·20=24 200 000$
(11*11 = 121 och lägg till 4 nollor så blir det 1 210 000)

Tredje i storlek är $3^{18}=3^3·3^3·3^3·3^3·3^3·3^3={27}^6$
Minsta är ${20}^6=64 000 000$(2⁶= 64 och sedan lägger vi till 6 nollor)
Största är 30⁶= ${30}^3·{30}^3=27000·27000$och 30000*30000= 900 000 000

Störst är $2^{30}=2^{10·}{2}^{10}·2^{10}=1024·1024·1024$
$1000·1000·1000=1 000 000 000$

Om vi sammanfattar
$8000<{\mathbf{5}}^{\mathbf{6}}<27 000$
16 000 000 < 2²⁴ < 24 200 000
64 000 000 < 3¹⁸ < 900 000 000
1 000 000 000 < 2³⁰ (så det största av 2³⁰ behöver vi inte räkna ut)

Jag hoppas att det är någon som har en mindre arbetsam metod.

Edit: Oj jag glömde nämna att jag lånade Smutstvätts 2³⁰

Efter att $4^{15}$ skrivits om på basen 2, är alla exponenter delbara med 6. Potenserna kan därför skrivas om med lagen $x^{ab} = (x^a)^b$, så att alla har den gemensamma exponenten b=6. Då räcker det att jämföra baserna, som nu är mycket mindre tal:

$(2^4)^6,\ \ (3^3)^6, \ \ (2^5)^6, \ \ 5^6$

Skaft skrev:

Efter att $4^{15}$ skrivits om på basen 2, är alla exponenter delbara med 6. Potenserna kan därför skrivas om med lagen $x^{ab} = (x^a)^b$, så att alla har den gemensamma exponenten b=6. Då räcker det att jämföra baserna, som nu är mycket mindre tal:

$(2^4)^6,\ \ (3^3)^6, \ \ (2^5)^6, \ \ 5^6$

Suveränt. Den vägen hade jag ingen tanke på. Jag försökte klura på basen, men kom ingen vart med den.
Tack för den!!!

Bra tips vid liknande uppgifter är att antingen försöka ge alla tal samma bas eller samma exponent.

Yngve skrev:

Bra tips vid liknande uppgifter är att antingen försöka ge alla tal samma bas eller samma exponent.

Skulle det vara möjligt att skapa en gemensam bas i det här exemplet utan alltför halsbrytande matematik?

Ja det går.

Då får du leta efter MGM, dvs minsta gemensamma multipel bland de befintliga baserna 2, 3, 4 och 5.

Yngve skrev:

Ja det går.

Då får du leta efter MGM, dvs minsta gemensamma multipel bland de befintliga baserna 2, 3, 4 och 5.

Om vi tar de två 2²⁴ och 3¹⁸. 
Måste jag inte då ta 2²⁴*3²⁴ = 6²⁴ gör jag då motsvarande  med 3¹⁸*2¹⁸= 6¹⁸ så har jag ju vänt på storleksordningen?

Nej jag tänker att MGM är 60, så gör om alla baser till 60. Sedan kan du jömföra exponenterna.

Yngve skrev:

Nej jag tänker att MGM är 60, så gör om alla baser till 60. Sedan kan du jömföra exponenterna.

Jag är nog inte med på hur du menar. Villkoren är att vi ska jämföra talen storleksmässigt och att vi inte får använda räknare. Jag har verkligen försökt att söka information på nätet och i läroböcker idag, men det verkar som om Skafts svar är det enda möjliga?
Det är helt OK för mig, men jag har tränat så lite på potenser så jag kanske missar det enkla. Basbyte utan att påverka storleken verkar inte lätt, men det kanske är mycket enklare än jag förstår? Vilket är ganska troligt i detta fall 😊

Nej glöm det jag skrev, jag var ute och cyklade.

Den metod som Skaft föreslog är den bästa.

Yngve skrev:

Nej glöm det jag skrev, jag var ute och cyklade.

Den metod som Skaft föreslog är den bästa.

Nej du var inte alls ute och cyklade det var jag som ställde frågan och kanske inte var så tydlig, men jag försökte själv lösa det med hjälp av att ändra basen. Sedan kom ju Skafts lösning, men jag trodde att det kanske bara var min okunnighet som gjorde att jag inte fixade det. Du såg kanske mitt inlägg det visade att det gick att lösa med mycket svett och möda, men jag var inte nöjd. Nu känns det bra när även du bekräftar det och flera på internet som rekommenderat Skafts metod.
Så tack för ditt svar annars kanske jag hade suttit och kliat mig i huvudet ännu några dagar😊