Ordinär differential ekvation (ekvationssystem) med egenvärden lika med 0

Hej, idag har jag ett matteproblem jag är fast på:
en ordinär differentialekvation formuleras som ett matrisproblem t ex. dy/dx = (1, 4;-1, -2)*y(x), y(0)=(1,2) och normalt löser jag det genom att hitta matrisens egenvärden som sedan utgör parametrar i den vanliga ansatsen y = sum_i (exp(lambda_i * x)). Detta fungerar för alla matriser A som har det(A) != 0 men vad händer om det(A) == 0, dvs om "vektorerna"/ekvationerna i systemet är linjärt beroende? vilken ansats ska jag använda?

stort tack!

hälsningar Jakob

Hittade lite generell information här, men inte svar på vad ansatsen blir om det(A)==0

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RealEigenvalues.aspx

Lösningen fås mha e^A. Är du bekant med matrisexponenter?

Jag håller inte med om att metoden inte fungerar då $\det(A)=0$ .

Det enda som egentligen händer är att åtminstone ett av egenvärdena är noll, och då kommer den ena termen i lösningen att bli en konstant.

Om vi t.ex. tar ekvationen:

$\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}=\begin{bmatrix}1&4\\-1&-4\end{bmatrix}\mathbf{x}$

kommer lösningen se ut så här:

$\mathbf{x}=c_1\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}+c_2e^{-3t}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$

Det händer egentligen inget konstigare än att den ena termen blir en godtycklig multipel av en viss vektor.

Svara

Visa senaste svar