Orderstatistika

Ditt n är väl n? Satsen använder sig av orderstatistika $X_{\left(1\right)}<...<X_{\left(n\right)}$ och det gör din uppgift också. :)

Okej, så $\frac{n!}{(j-1)!(n-j)!}$ ska vara så? Eller hur blir jag kvitt det?

Det är bara en konstant. N är hur många försök du gör, och j vilket i storleksordningen du är intresserad av att titta på.

När du tittar på största värdet är n=j, så det borde bara bli ett n kvar.

Det underlättar ju!

Jag hittade i gammal kurslitteratur att

Detta är ju ett något lättare uttryck.

Ja men det gäller bara om det är just sista du vill ha 😜

Jag brukar bara gångra ihop alla till en enda fördelning och integrera bort de jag inte vill ha, skulle inte orka lära mig de där formlerna. Utom om det är många, men då frågas alltid efter första eller sista ändå.

Okej, tack! Jag provar!

Hej,

Täthetsfunktionen i Theorem 5.4.4. kommer från fördelningsfunktionen för slumpvariabeln $X_{(j)}$. Denna fördelningsfunktion kan härledas på följande sätt; det gäller att hålla reda på var nivån $x$ befinner sig i förhållande till slumpvariablerna $X_{(1)}, X_{(2)},$ och så vidare.

• Händelsen $\{X_{(1)} \leq x\}$ betyder att $x$ ligger över $n$ stycken X-variabler eller att $x$ ligger över $(n-1)$ stycken X-variabler eller ... eller $x$ ligger över 1 stycken X-variabel.
• Händelsen $\{X_{(2)} \leq x\}$ betyder att $x$ ligger över $n$ stycken X-variabler eller att $x$ ligger över $(n-1)$ stycken X-variabler eller ... eller $x$ ligger över 2 stycken X-variabler.
• Händelsen $\{X_{(3)} \leq x\}$ betyder att $x$ ligger över $n$ stycken X-variabler eller att $x$ ligger över $(n-1)$ stycken X-variabler eller ... eller $x$ ligger över 3 stycken X-variabler.

Händelsen att $x$ ligger över $k$ stycken X-variabler kan uppstå genom att man, bland $n$ stycken X-variabler, väljer ut de $k$ stycken X-variabler som ska ligga under nivån $x$; detta kan ske på $\binom{n}{k}$ olika sätt.

• $P(X_{(1)}\leq 1) = \binom{n}{n}F^{n}(1-F)^0 + \binom{n}{n-1}F^{n-1}(1-F)^{1}+\cdots+\binom{n}{1}F^{1}(1-F)^{n-1}$
• $P(X_{(2)}\leq 1) = \binom{n}{n}F^{n}(1-F)^0 + \binom{n}{n-1}F^{n-1}(1-F)^{1}+\cdots+\binom{n}{2}F^{2}(1-F)^{n-2}$
• $P(X_{(3)}\leq 1) = \binom{n}{n}F^{n}(1-F)^0 + \binom{n}{n-1}F^{n-1}(1-F)^{1}+\cdots+\binom{n}{3}F^{3}(1-F)^{n-3}$

Detta indikerar att fördelningsfunktionen för slumpvariabeln $X_{(j)}$ är 

    $P(X_{(j)}\leq x) = \sum_{k=j}^{n}\binom{n}{k}\left(P(X\leq x)\right)^{k}\left(P(X>x)\right)^{n-k}\ , \quad j=1,2,3\ldots, n.$

Fördelningsfunktionen ser ut att vara en summa av binomialsannolikheter. Kopplingen till binomialfördelning kan göras via slumpvariabeln $S_n$:

    $S_n$ räknar antalet X-variabler (bland totalt $n$ stycken) som hamnar under nivån $x$.

Att hamna under nivån $x$ räknas som ett lyckat utfall och sannolikheten ($p$) för ett lyckat utfall blir då

    $p=P(X\leq x)$.

Oberoende och likafördelade X-variabler medför att $S_n$ blir $\text{Bin}(n,p)$-fördelad.

    $P(X_{(j)}\leq x) = P(S_n=n \cup S_n=n-1 \cup \cdots \cup S_n = j)\\ = P(S_n=n) + P(S_n=n-1)+\cdots+P(S_n=j) = \sum_{k=j}^{n}\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

Tack för hjälpen, tror jag löste det till slut!