Orbit spaces topology

Detta är min lösning jag fick av min lärare (med mina beteckningar). Jag förstår lite inre bitar i beviset men här är de bitar jag ej förstår:

1, man låter f(x)=exp(2piix) för att R/Z är ett orbit space?

2, jag förstår att man poängterar nästa punkt, för det är det som gör att R/Z är ett orbit space, men varför mer?

3, Beviset går ut på att visa att f är cont. och att om f^-1(U) är öppen så är U öppen, vilket visar på homeomofirsm, gäller detta för alla mappar f?

4, och förstår inte beviset i slutet, att U är öppen.