Optimeringsproblem
Summan av sidan i en kvadratisk bottenyta och höjden är 24cm. Frågan är vilket mått lådan ska ha för att rymma så mycket som möjligt.
Man behöver ha med definitionsmöngd, derivatans nollställe och teckentabell.
Lösning
x=sidan i botten
h=höjden
V=volymen
Givet är x+h=24
V(x)=x^2*h=x^2*(24-x)=24*x^2-x^3
Derivatan
V'(x)=48*x-3*x^2=3*x*(16-x)
Är svaret x=16 och därmed h=8?
Och hur ska jag få fram nollställen, definitionsmängd och teckentabell. Uppgiften liknar inte de tidigare övningar vi har haft.
Svaret stämmer. Finns det några begränsningar på vad x och h får vara?
Derivatans nollställen visar på funktionens extremvärden. Derivatan har två nollställen, ett är x=16 som du och fner skriver, och det andra är när x=0. Men man vet inte direkt om extremvärdena är min- eller maxpunkter, men man kan ju gissa.
I teckentabellen sätter man ut de två nollställena, och testar ett värde i varje av de tre intervallen x<0 (första nollstället), 0<x<16 (mellan nollställena) och x>16 (andra nollstället). Får man teckentabellen -0+0- , så vet man att x=0 är en minimipunkt och 16 är en maximipunkt.
Definitionsmängden är de teoretiska värden som kvadratens sida (och höjden) kan variera mellan. De kan ju till exempel inte vara negativa.
Kvadratens sida kan ju inte heller vara 0 m i praktiken...
nej, inte heller exakt 24.
alla värden däremellan är ok, teoretiskt sett.
Kan man ta -1, 10 och 100 i teckentabellen och vilken ekvation är de jag ska sätta in värdena i?
Jo. Sätt in värdena i derivatans funktion, V´(x), den där funktionen för x=0 och x=24 är 0.
Tack för all hjälp!
