Optimering, triangel

En linje genom punkten (2,5) bildar tillsammans med koordinataxlarna i 1:a kvadranten en triangel. Bestäm linjens ekvation så att triangelns area blir så liten som möjligt.

Påbörjade tankar:

Linjens ekvation låtes vara: y=kx+m

Triangelns area ges av $A = \frac{x \cdot m}{2}$

Linjens ekvation kan mha given punkt omskrivas som

$5 = 2 k + m \Leftrightarrow m = 5 - 2 k$

Insättning av m som $5 - 2 k$ i $A$ ger att

$A = \frac{5}{2} x - k x$

Bestämmande av derivatans nollställen för denna funktion ger att

$k = 5 / 2$

Vilket inte är rimligt då k ska vara positivt för att en triangel ska kunna bildas med de villkor som finns angivna i uppgiften..

Dock vet vi att k ska vara negativt. Därför kan man resonera att k helt enkelt ska vara det motsatta talet till 5/2, dvs. -5/2.

Då blir m=10.

Svar: $y = 10 - 2, 5 x$

"Kruxet" var att på egen hand inse att man ska använda -5/2 i stället för dess motsatta tal.

Verkar det rimligt?

Du får skilja på x som variabel och det ställe där linjen korsar x-axeln. Där är x =-m/k. Du kan sedan få triangelns area uttryckt i m (eller k) och derivera med avseende på det för att hitta extremvärden.

Efter att ha tänkt lite på problemet så tror jag att det bäst löses genom att man använder likformighet snarare än räta linjens ekvation. Kalla punkten där linjen skär y-axeln för b och skärningen med x-axeln för m. Då gäller att:

$A (b, m) = \frac{b \cdot m}{2}$

Vi vill nu hitta ett samband mellan b och m. Vi kan konstatera att det finns två trianglar som utgår från den givan punkten (2,5) som är likformiga. Det ger följande samband:

$\frac{m - 5}{2} = \frac{5}{b - 2} \Rightarrow m = 5 + \frac{10}{b - 2} = \frac{5 b}{b - 2}$

Det innebär att vi nu kan uttrycka arean som en funktion av en variabel:

$A (b) = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{5 b}{b - 2}$

Slutligen söker vi b så att ovanstående minimeras och det gäller att b > 2:

$\underset{b}{m i n} A (b), b > 2 \underset{b}{m i n} \frac{5 b^{2}}{2 (b - 2)}, b > 2$

Svara

Visa senaste svar