Optimering tre variabler och två bivillkor

Jag har försökt optimera

f(x,y,z)=xyz med bivillkoren g(x,y,z)=x+y+z=1 och h(x,y,z)=x²+y²+z²=1.

$\nabla f = (y z, x z, x y), \nabla g = (1, 1, 1), \nabla h = (2 x, 2 y, 2 z) .$

Jag försökte först använda determinanten $d e t (\nabla f, \nabla g, \nabla h) = y z (2 z - 2 y) - x z (2 z - 2 x) + x y (2 y - 2 x) = 0$ , men det blir bara väldigt rörigt och jag kan inte förenkla determinanten med radoperationer på ett bra sätt.

Har också testat lösa ut z från g. z=1-x-y och optimera

f(x,y,1-x-y)=xy-x²y-xy² med bivillkoret h(x,y,1-x-y)=2x²+2y²+2xy-2x-2y+1=1

med Lagrange multiplikator men de partiella derivatorna gör det för svårt.

Jag tycker att du kan börja med determinanten eftersom det blir så stiligt.

$\det\left [\nabla f, \nabla g, \nabla h\right]=2 x^2 y+2 x^2 z+2 x y^2-2 x z^2-2 y^2 z+2 y z^2=-2(x-y)(x-z)(y-z)=0$

Vi ser att determinanten är noll då $x=y=t$ eller $x=z=u$ eller $y=z=v$ . Om vi börjar med $x=y=t$ ger $h(x,y,z)=1$

$2t^2+(1-2t)^2=1$

Osv...

För metoden med Lagrange mulitplikator är det bara att kötta på, återigen kan en insikt om hur man kan skriva ekvationerna i faktorer vara till stor hjälp.

Jag kanske också ska nämna att de två restriktionerna utgör ett plan och en sfär. Dina extrempunkter ska alltså ligga på skärningslinjen, vilken kan parametriseras. Ditt problem reduceras då till att att optimera löpvariabeln vilket kan vara ett roligt tredje alternativ till dina föreslagna lösningsmetoder. Enklast är kanske att införa ett sfäriskt koordinatsystem med "z-axeln", dvs den axel mot vilken du mäter azimut, i planets normalriktning.

Funderar lite på denna uppgift, är den verkligen rätt formulerad/avskriven? Svaret blir lite skumt. Funderar på om något av bivillkoren skulle varit lite annorlunda. Blir ett mer intressant svar också om man istället söker minimum av funktionen.

tomast80 skrev:
Funderar lite på denna uppgift, är den verkligen rätt formulerad/avskriven? Svaret blir lite skumt. Funderar på om något av bivillkoren skulle varit lite annorlunda. Blir ett mer intressant svar också om man istället söker minimum av funktionen.

Uppgiften var egentligen optimera f med bivillkoren g=1 och h≤1 men jag hittade punkten (1/3,1/3,1/3) där när jag undersökte området g=1 och h<1. Efter det hade jag bara området då g=h=1 att undersöka och det var det jag frågade om.

Vad får du för svar? Största värdet är 0 i de triviala punkterna (1,0,0) osv och minsta -4/27 i (2/3,2/3,-1/3), (2/3,-1/3,2/3) och (-1/3,2/3,2/3) med bivillkoren g=h=1.

Med billkoren h≤1=g finns största värdet 1/27 i (1/3,1/3,1/3).

Då förstår jag. Jag får samma svar. En sista fundering, blir det verkligen en skärningslinje mellan klotet och planet? Det känns mer som de skär varandra i enstaka punkter, har jag fel? Tycker WolframAlpha indikerar det med.

tomast80 skrev:
Då förstår jag. Jag får samma svar. En sista fundering, blir det verkligen en skärningslinje mellan klotet och planet? Det känns mer som de skär varandra i enstaka punkter, har jag fel? Tycker WolframAlpha indikerar det med.

Hade tydligen fel, det blir en ellips.

Hur skulle man kunna skära ett klot med ett plan så att skärningsytan blir något annat än en cirkelskiva? Jag kan inte föreställa mig hur det skulle gå till. (Jo, om de bara skär varandra i en enda punkt, men det är en tråkig lösning...)

D4NIEL skrev:
Jag tycker att du kan börja med determinanten eftersom det blir så stiligt.

$\det\left [\nabla f, \nabla g, \nabla h\right]=2 x^2 y+2 x^2 z+2 x y^2-2 x z^2-2 y^2 z+2 y z^2=-2(x-y)(x-z)(y-z)=0$

Vi ser att determinanten är noll då $x=y=t$ eller $x=z=u$ eller $y=z=v$ . Om vi börjar med $x=y=t$ ger $h(x,y,z)=1$

$2t^2+(1-2t)^2=1$

Osv...

För metoden med Lagrange mulitplikator är det bara att kötta på, återigen kan en insikt om hur man kan skriva ekvationerna i faktorer vara till stor hjälp.

Tack, jag löste uppgiften med determinanten men hur tänkte du när du faktoriserade? Det ska stå -2x²y förresten.

Smaragdalena skrev:
Hur skulle man kunna skära ett klot med ett plan så att skärningsytan blir något annat än en cirkelskiva? Jag kan inte föreställa mig hur det skulle gå till. (Jo, om de bara skär varandra i en enda punkt, men det är en tråkig lösning...)

Ja, kom på det. Men såg lite skumt ut på WolframAlpha.

Om du undrar hur man kommer på att man kan faktorisera så beror det förmodligen mest på lite metafakta.

0. Det var väldigt vad uttrycket ser symmetriskt och städat ut? Det här borde gå att faktorisera!

1. Ursprungsekvationerna är symmetriska i x och y, dvs om du byter namn på x till y och y till x får du exakt samma uttryck för $f,g$ och $h$

En eventuell lösning har alltså egenskapen $x=y$

2. "Alltså måste (x-y) vara en faktor i determinantens nollprodukt. Intressant. Vad får jag kvar om jag löser ut (x-y)"... osv

Om det känns krångligt kan du ju alltid chansa på att lösa ut $-2x$ och notera att du kan kombinera för att få ut -2(x-y)...

Så här ser sfären och planet ut när man tittar ned på planet (vi befinner oss i en punkt ovanför planet och tittar ned i riktningen $(-1,-1,-1)$ :

Svara

Visa senaste svar