Optimering på icke-kompakta mängder

Det spelar ingen roll om de stationära punkterna finns med eftersom de då har ett värde mindre än epsilon ändå.

parveln skrev:

Det spelar ingen roll om de stationära punkterna finns med eftersom de då har ett värde mindre än epsilon ändå.

I boken hittar de två stationära punkter och säger att alla funktionsvärde utanför kompakten är mindre än 1/2 så stationära punkterna som man har hittat måste ligga innanför? Och vi får -4 som minsta värde eftersom epsilon > 0 => allt utanför kompakten är pos. dvs. min ligger i kompakten? (Försöker förstå konceptet på hur man hittar en kompakt och varför det fungerar)

De säger att beloppet av funktionen är mindre än 1/2, så det kan finnas negativa värden utanför också. 

Jämför med att hitta största och minsta värde i en variabel. Först deriverar man, hittar något intressant, och sen måste man kolla vad som händer i åt alla håll, som oftast är +- oändligheten. Samma sak gör du här, ringa in hela området där intressanta saker händer, sen bevisar du att här utanför guppar bara funktionen omkring runt det här värdet.

Micimacko skrev:

Jämför med att hitta största och minsta värde i en variabel. Först deriverar man, hittar något intressant, och sen måste man kolla vad som händer i åt alla håll, som oftast är +- oändligheten. Samma sak gör du här, ringa in hela området där intressanta saker händer, sen bevisar du att här utanför guppar bara funktionen omkring runt det här värdet.

Fast på en variabel behöver vi väl inte checka +- oändligheten (bara här i flervarre) (förutom randpunkterna då)? Så i boken hittar man f(2,0) = 1 och f(-1/2,0)=-4 och så säger man att utanför en kompakt är abs(f(x,y)) <= $\epsilon$ dvs. mindre än maxvärdet 1 och större än minvärdet -4?   Hur vet vi att abs(f) är mindre än epsilon, kan det inte finnas större abs(f)? Det gäller väl bara om r —> oo? (kompakten blir väl större desto mindre epsilon blir)

Har svårt med att konstruera mina egna kompakter till dessa optimeringsproblem

Jo frågar man om en vanlig funktions största värde måste du alltid kolla hur stort det blir mot oändligheten. Om du inte har fått ett färdigt intervall som du ska titta på. 

Du vet inte innan uträkning om du kommer få värden <ε utanför någon skiva. Om du har lyckats bevisa att utanför den här cirkeln kan f bara vara mellan -1/2 och 1/2, så har du ju bevisat att f=1 eller f=-4 inte kan ligga där. Men det är inte sant för alla funktioner att de går mot 0 när r blir stort, och då kan du inte heller visa det, utan får visa varför det inte är sant istället. 

Micimacko skrev:

Jo frågar man om en vanlig funktions största värde måste du alltid kolla hur stort det blir mot oändligheten. Om du inte har fått ett färdigt intervall som du ska titta på. 

Du vet inte innan uträkning om du kommer få värden <ε utanför någon skiva. Om du har lyckats bevisa att utanför den här cirkeln kan f bara vara mellan -1/2 och 1/2, så har du ju bevisat att f=1 eller f=-4 inte kan ligga där. Men det är inte sant för alla funktioner att de går mot 0 när r blir stort, och då kan du inte heller visa det, utan får visa varför det inte är sant istället. 

Ja juste, t.ex. tredjegradsekvationer. 

Ah, för om man väljer epsilon = 10 så betyder det att de stationära punkterna inte ligger i kompakten. Om f —> oo så skulle f kunna vara större än epsilon med sqrt(x^2+y^2) >= R. Med f —> 0 kan vi gå hur nära 0 som helst med vår f, fast det skulle ju kunna finnas ett f > epsilon vid ett stort x, y i exemplet ändå, hur visar boken att f måste vara mellan -1/2 och 1/2 utanför cirkeln? Hur vet de att de kan finnas ett R så att abs(f) < epsilon? Det kan väl endast ske om R är oändligt stort? 

Okej så vi kan endast finna en kompakt om f —> 0 (rättare sagt då f —> C där C är en konstant) och vi får att C < f < $\epsilon$  annars kan vi inte definiera en kompakt? 

Du är på väldigt rätt spår, men tror du blandar ihop lite bokstäver. ε säger hur mkt upp och ner från C som f kan vara (i höjdled om du ser det som en 3D-ritning). Om ditt högsta värde är 1 och f går mot 0 måste du välja ett ε som är mindre än 1. Om du tex väljer ε=2 så kan du ha alla värden mellan -2 och 2 utanför cirkeln och kan då inte påstå att 1 är störst längre. 

Hur stort r behöver vara beror på ditt valda ε. Samma funktion kan behöva vara 10000 från origo för att vara mindre än 0,01 överallt men om ditt max är 3 och din min är -2 kan du istället välja att ε=1 och få en mindre cirkel och enklare uträkningar. Så du måste liksom tänka från varje fall vad du vill visa. 

Och många gånger gör man som din bok och nöjer sig med att det går att visa, men struntar i att göra det. Vad ε är är inte så intressant för svaret om det inte frågas efter.

Micimacko skrev:

Och många gånger gör man som din bok och nöjer sig med att det går att visa, men struntar i att göra det. Vad ε är är inte så intressant för svaret om det inte frågas efter.

Hmmm okej så vi behöver bara välja epsilon så att den är mindre än vårt största värde och större än våra minsta värde så får vi en kompakt med en radie R så att allt funkar. Detta gäller alltså endast om man har visat att funktionen går mot en konstant?

Det hör ihop, ja. Att gå mot betyder precis att ε finns om r är tillräckligt stort. Det är definitionen av ett gränsvärde, så du kan liksom inte ha ena utan andra.

Antingen använder du ε för att visa att det går mot konstanten, eller så visar du gränsvärdet på valfritt annat sätt och så kan du med gott samvete trolla fram ett ε av valfri storlek och bara använda i motiveringen.

Micimacko skrev:

Det hör ihop, ja. Att gå mot betyder precis att ε finns om r är tillräckligt stort. Det är definitionen av ett gränsvärde, så du kan liksom inte ha ena utan andra.

Antingen använder du ε för att visa att det går mot konstanten, eller så visar du gränsvärdet på valfritt annat sätt och så kan du med gott samvete trolla fram ett ε av valfri storlek och bara använda i motiveringen.

Okej, tack så mycket för all hjälp!