Optimering på icke kompakt område

Uppgiften är att bestämma största och minsta värde (i de mån de existerar) till funktionen

$f (x, y) = (x^{2} + y) e^{- x - y} i o m r å d e t x \geq 0, y \geq 0$ .

Jag tänker att funktionen borde gå mot noll då $x + y \to \infty$ . Och området $D = {(x, y) : x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq R}$

är ett kompakt område där f garanterat antar ett största och minsta värde. Om vi låter $R \to \infty$

så kommer D gå mot området vi vill optimera på. Stationära punkter får jag från ekvationssystemet $\frac{\partial f}{\partial x} = e^{- x - y} (2 x - (x^{2} + y)) = 0$

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- x - y} (1 - (x^{2} + y)) = 0$

Jag får den stationära punkten $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ som ju ligger i området om vi väljer ett R tillräckligt stort. Jag vet inte riktigt hur jag ska gå vidare härifrån. Funktionsvärdet i den stationära punkten blir $e^{\frac{- 5}{4}}$ .

I liknande uppgifter resonerar man som så att eftersom att funktionen går mot 0 då x+y går mot oändligheten vet vi att det finns ett tal $R$ så att då $x + y \geq R$

så är $f (x, y) < e^{\frac{- 5}{4}}$ .

Men svaret i uppgiften är att största värde är $4 e^{2}$ och minsta är 0.

Jag tror att jag missar några detaljer här, jag tror jag är på rätt spår eftersom jag fått tips om att denna metod fungerar även om vi inte vill optimera på hela $R^{2}$ .

Tacksam för hjälp!

Har du skrivit av uppgiften fel, eller har jag skrivit in uppgiften fel? WolramAlpha hittar inte ditt värde.

Smaragdalena skrev:
Har du skrivit av uppgiften fel, eller har jag skrivit in uppgiften fel? WolramAlpha hittar inte ditt värde.

Vad konstigt. Uppgiften kommer ifrån http://wiki.math.se/wikis/samverkan/flervariabelanalys-LIU/index.php/10.2_Optimering_p%C3%A5_icke-kompakta_omr%C3%A5den

uppgift 11.2.1 b)

Har du kommit ihåg att undersöka randen?

Vad gäller minsta värde är det ganska lätt att se vad det blir: vad har faktorerna för tecken? Vad är minsta tänkbara värde? Antas det?

Fannywi skrev:
Smaragdalena skrev:
Har du skrivit av uppgiften fel, eller har jag skrivit in uppgiften fel? WolramAlpha hittar inte ditt värde.
Vad konstigt. Uppgiften kommer ifrån http://wiki.math.se/wikis/samverkan/flervariabelanalys-LIU/index.php/10.2_Optimering_p%C3%A5_icke-kompakta_omr%C3%A5den
uppgift 11.2.1 b)

Hmmm, jag var ju lat och skrev x>0, y>0 i stället för större än eller lika med (som jag inte fick WA att begripa när jag försökte senare). Så jag håller med Halalds förslag om att undersöka randen.

Smaragdalena skrev:
Fannywi skrev:
Smaragdalena skrev:
Har du skrivit av uppgiften fel, eller har jag skrivit in uppgiften fel? WolramAlpha hittar inte ditt värde.
Vad konstigt. Uppgiften kommer ifrån http://wiki.math.se/wikis/samverkan/flervariabelanalys-LIU/index.php/10.2_Optimering_p%C3%A5_icke-kompakta_omr%C3%A5den
uppgift 11.2.1 b)
Hmmm, jag var ju lat och skrev x>0, y>0 i stället för större än eller lika med (som jag inte fick WA att begripa när jag försökte senare). Så jag håller med Halalds förslag om att undersöka randen.

Randen varför behöver den undersökas? Jag trodde att metoden som jag tänkte använda här innebär att jag (eftersom att funktionen går mot noll då R går mot oändligheten) givet ett funktionsvärde a > 0 kan hitta ett tal $R$ så att f(x,y) < a för alla (x,y) med $x \geq 0, y \geq 0, x + y \geq R$ (inklusive randen). Och att om jag då hittar stationära punkter för funktionen som ligger i det kompakta området D vet jag att det största värdet (och eventuellt minsta värdet) för funktionen i området jag ville optimera på antas i de punkterna.

Men jag missar nog något. Exemplet i min kursbok, och i videon : https://www.youtube.com/watch?v=vl9gOYPs9UA&t=3s, optimerar en funktion $(x + 2 y) e^{- (x^{2} + y^{2})}$ , där definitionsmängden är hela planet. Och då går funktionen mot noll då $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ går mot oändligheten. Där har man hittat största och minsta värde på den kompakta cirkelskivan $x^{2} + y^{2} \leq R^{2}$

I de exemplen undersöker man bara de stationära punkterna i det inre i kompakta området och inte randen eftersom som jag förstår det behövs det ej eftersom alla andra funktionsvärden, om man väljer cirkelskivan så att de stationära punkterna ingår, är garanterat mindre än det största värdet av de punkterna.

haraldfreij skrev:
Har du kommit ihåg att undersöka randen?
Vad gäller minsta värde är det ganska lätt att se vad det blir: vad har faktorerna för tecken? Vad är minsta tänkbara värde? Antas det?

Ja juste! Man ser ju faktiskt att funktionen antar värdet 0 i området x >=0, y >=0. Jag ställde nyss en fråga i svaret innan angående randpunkterna för det kompakta område jag vill studera funktionen i.

Fannywi skrev:
haraldfreij skrev:
Har du kommit ihåg att undersöka randen?
Vad gäller minsta värde är det ganska lätt att se vad det blir: vad har faktorerna för tecken? Vad är minsta tänkbara värde? Antas det?
Ja juste! Man ser ju faktiskt att funktionen antar värdet 0 i området x >=0, y >=0. Jag ställde nyss en fråga i svaret innan angående randpunkterna för det kompakta område jag vill studera funktionen i.

Tänk dig följande liknelse varför randen är viktig: du har en funktion $f(x) =2x$ med området $0\leq x\leq 3$ . Nu ska du hitta största och minsta värdet. Vad är det? (här är ändpunkterna tänkt att vara randen.)

Man ser rätt snabbt att max/min inte bara kan antas inuti intervallet utan även ändpunkterna är viktiga att undersöka. Samma häller för flervariabelsfunktioner. Området är viktigt att undersöka, men även randen ("ändpunkterna") är viktiga att undersöka!

woozah skrev:
Fannywi skrev:
haraldfreij skrev:
Har du kommit ihåg att undersöka randen?
Vad gäller minsta värde är det ganska lätt att se vad det blir: vad har faktorerna för tecken? Vad är minsta tänkbara värde? Antas det?
Ja juste! Man ser ju faktiskt att funktionen antar värdet 0 i området x >=0, y >=0. Jag ställde nyss en fråga i svaret innan angående randpunkterna för det kompakta område jag vill studera funktionen i.

Tänk dig följande liknelse varför randen är viktig: du har en funktion $f(x) =2x$ med området $0\leq x\leq 3$ . Nu ska du hitta största och minsta värdet. Vad är det? (här är ändpunkterna tänkt att vara randen.)

Man ser rätt snabbt att max/min inte bara kan antas inuti intervallet utan även ändpunkterna är viktiga att undersöka. Samma häller för flervariabelsfunktioner. Området är viktigt att undersöka, men även randen ("ändpunkterna") är viktiga att undersöka!

tack!, jag förstår :)

I en annan uppgift där man optimerade på en cirkelskiva så beskrevs en metod där man kunde avgöra att värdet även på randen skulle vara mindre än den stationära utan att explicit räkna ut den. Men jag tror jag får göra lite fler uppgifter och tänka på att inte glömma bort randen

Hej!

Välj $R \geq 2$ så att funktionens stationära punkt ligger i det inre av området $D_R$

$D_R = \{(x,y)\,:\, x\geq 0 \ , y \geq 0 \ , 0 \leq x+y\leq R\}\ .$

Randen till området består av tre räta linjer

$\partial D_R = L_1\cup L_2 \cup L_3$

där $L_1 = \{(0,y)\,:\,0\leq y \leq R\}$ och $L_2=\{(x,0)\,:\,0\leq x \leq R\}$ och $L_3=\{(x,R-x)\,:\,0\leq x\leq R\}.$

På området $L_1$ studeras funktionen $g_1(y) = ye^{-y}\ , \quad y\in[0,R]$ vars minsta värde är $g_1(0)=0$ och största värde är $g_1(1)=e^{-1}$ .
På området $L_2$ studeras funktionen $g_2(x)=x^2e^{-x}\ , \quad x\in[0,R]$ vars minsta värde är $g_2(0) = 0$ och största värde är $g_2(2)=4e^{-2}$ .
På området $L_3$ studeras funktionen $g_3(x) = (x^2-x+R)e^{-R}=\{(x-0.5)^2+R-0.25\}e^{-R}\ , \quad x\in[0,R]$ vars minsta värde är $g_3(0.5)=(R-0.25)e^{-R}$ och vars största värde är $g_3(R)=R^2e^{-R}$ . När $R$ växer kommer både g_3(0.5) och g_3(R) att närma sig noll.

Svara

Visa senaste svar