Optimering över kompakta områden

Uppgift:

En reellvärd funktion är kontinuerlig i mängden $D \subseteq ℝ^{2}$ , Antar f säkert ett största (minsta) värde om...

$D = {(x, y); |x| \leq 1, |y| < 1}$

Boken tipasr om att använda statsen

Antag att den reellvärda funktionen f(x,y) är kontinuerlig på den slutna begränsade (kompakta) mängden D i planet. Då antar funktionen både ett största och ett minsta värde i D.

Jag förstår inte riktigt frågan. Ska jag undersöka om D är sluten och begränsad (kompakt) sen svara med ja eller nej?

Du kan ju ge ett motexempel.

Låt f(x, y) = y³, då (x, y) $\in$ D. Finns det något största värde i D? Finns det något minsta värde i D?

PATENTERAMERA skrev:
Du kan ju ge ett motexempel.

Låt f(x, y) = y³, då (x, y) $\in$ D. Finns det något största värde i D? Finns det något minsta värde i D?

Nej,för att y^3 är obegränsad?

Nja. f(x, y) = y³ är ju begränsad på D. Vi får bara välja punkter (x, y) som ligger i D.

Det betyder att -1 < f(x, y) < 1 då (x, y) $\in$ D.

Men tänk så här. Någon påstår att f antar sitt största värde i punkten (x₁, y₁) $\in$ D.

Visa att du då alltid kan finna en punkt (x₂, y₂) $\in$ D sådan att f(x₂, y₂) > f(x₁, y₁).

Svara

Visa senaste svar