Optimering över icke-kompakta områden Flerdimensionell analys

Hej! Sitter med en uppgift i flervariabel analys där jag ska optimera över ett icke kompakt område. Har kommit en bit på vägen men vet inte riktigt hur jag ska fortskrida.

Fråga lyder:

"Bestäm största och minsta värde av funktionen

$f(x,y)=x{y}^2{e}^{-xy}$

i området $0\le x\le 2 , 0\le y\le b där b>1$.

Har funktionen något största värde i det obegränsade området $0\le x\le 2, y\ge 0$?"

Jag började med att derivera funktionen med avseende på x respektive y

$\left\{\begin{array}{l}f{\text{'}}_x=y^2{e}^{-xy}(1-yx)\\ f{\text{'}}_y=xy{e}^{-xy}(2-yx)\end{array}\right.$

Jag sätter båda derivator till noll och dividerar bort e-termen då denna är skild från noll.

$\left\{\begin{array}{l}f{\text{'}}_x=y^2(1-yx)=0\\ f{\text{'}}_y=xy(2-yx)=0\end{array}\right.$

Från f'_x får jag  ut att y=0 eller xy=1 löser ekvationen.

Stoppar jag in detta i f'_y så funkar y=0 som lösningen men xy=1 ger 1=0, vilket innebär att den lösningen inte funkar.

Det ger mig ingen stationär punkt men det ger mig kandidater f(x,0) där $0\le x\le 2$

Stoppar jag in y = 0 i funktionen så blir det alltid noll. Då får jag en kandidat som är 0 i funktionsvärde.

Vilket som rimligtvis borde vara lägsta värdet.

Sedan undersökte jag randen y=b

$$\begin{gathered} f(x,b)=x{b}^2{e}^{-xb}=g\left(x\right) \\ g\text{'}\left(x\right)=b^2{e}^{-bx}-x{b}^3{e}^{-xb}=b^2{e}^{-bx}(1-bx) \\ g\text{'}\left(x\right)=0 \Rightarrow b=0 eller (1-bx)=0 \\ b>1, b=0 utesluts \\ x=\frac{1}{b} ger g\text{'}\left(x\right)=0 \\ Stoppar in detta i g\left(x\right): \\ g\left(x\right)=\frac{b}{e} \end{gathered}$$ 

Härifrån vet jag inte riktigt hur jag ska göra/tänka.
Jag tror jag hittat största värdet b/e och minsta värdet 0 på området 0≤x≤2 , 0≤y≤b där b>1.

Jag blir förvirrad, b är väl obegränsat uppåt så det kan väl bli hur stort som helst?
b/e skulle väl motsvar y/b i det obegränsade området. Och eftersom y kan gå mot oändligheten så finns det inget största värde kanske?
Och funktionen kan inte bli mindre än noll.
Hur jag visar detta begriper jag dock inte!

Tack och trevlig Helg!