Optimering med bivillkor flervariabelanalys

Bestäm största och minsta avstånd till origo från kurvan 2x⁴+x²y²+y⁴=1

Jag vet att bivillkoret är; 2x4+x2y2+y4=1 , detta sätts som g(x,y)

sen att man vill räkna avstånd från origo sätter jag f(x,y)= $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ --> f²(x,y)= $x^{2} + y^{2}$ för att göra det enklare att räkna.

Jag har kommit fram till att
grad f = (2x, 2y)
grad g = (8x³+2xy², 2x2y+4y3)

räknar sedan ut det=0 för att få två ekvationer

2x(2x2y+4y3)-2y(8x3+2xy2)=0 ekv 1
2x4+x2y2+y4=1 ekv 2

Sedan blir det stopp för mig! Vetinte hur jag ska bryta ut x eller y för att få ut punkter.

Har även försökt med Lagrange-metoden men fastnar där med!

Jag förstår inte riktigt vilka steg du tagit fram till att du beräknar determinanten?

Om du vill använda lagrange, har du redan gjort ganska mycket av det som behövs – formeln är ju $\nabla f = λ \cdot \nabla g$ , och du har redan hittat dessa. Det ger dig ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} λ \cdot 2 x = 8 x^{3} + 2 x y^{2} \\ λ \cdot 2 y = 2 x^{2} y + 4 y^{3} \end{cases}$

Vi vet även att $2x^4+x^2y^2+y^4=1$ . Börja med att försöka bli av med $\lambda$ , genom att kombinera några av ekvationerna, eller möblera om i dem. Vad får du för uttryck då? :)

då får jag att x= $\frac{8 x^{3} + 2 x y^{3}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}$ , eller har jag gjort helt fel nu? Dividerade $\frac{λ \cdot 2 x}{λ \cdot 2 y} = \frac{8 x 3 + 2 x y 2}{2 x 2 y + 4 y 3}$ för att få bort λ :)

Nästan! Det borde väl bli $\frac{x}{y} = \frac{8 x^{3} + 2 x y^{3}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}$ i sådant fall? :)

Jag inser att jag var otydlig när jag skrev "bli av med lambda". Jag menade egentligen att du skulle lösa ut lambda först, så att du får en ekvation utan lambda. Jag beklagar otydligheten. $😅$

Om vi löser ut lambda får vi $λ = (\frac{8 x^{3} + 2 x y^{2}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}) \cdot \frac{1}{2 x}$ . Substitution av detta uttryck istället för lambda i den andra ekvationen ger oss ekvationen $((\frac{8 x^{3} + 2 x y^{2}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}) \cdot \frac{1}{2 x}) \cdot 2 y = 2 x^{2} y + 4 y^{3}$ .

Försök nu förenkla denna monstruösa ekvation så mycket det går, så har du sedan ett ekvationssystem med två obekanta (x och y) och två ekvationer. :)

Smutstvätt skrev:
Nästan! Det borde väl bli $\frac{x}{y} = \frac{8 x^{3} + 2 x y^{3}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}$ i sådant fall? :)

Jag inser att jag var otydlig när jag skrev "bli av med lambda". Jag menade egentligen att du skulle lösa ut lambda först, så att du får en ekvation utan lambda. Jag beklagar otydligheten. $😅$

Om vi löser ut lambda får vi $λ = (\frac{8 x^{3} + 2 x y^{2}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}) \cdot \frac{1}{2 x}$ . Substitution av detta uttryck istället för lambda i den andra ekvationen ger oss ekvationen $((\frac{8 x^{3} + 2 x y^{2}}{2 x^{2} y + 4 y^{3}}) \cdot \frac{1}{2 x}) \cdot 2 y = 2 x^{2} y + 4 y^{3}$ .

Försök nu förenkla denna monstruösa ekvation så mycket det går, så har du sedan ett ekvationssystem med två obekanta (x och y) och två ekvationer. :)

Okej tack ska prova!

Låter bra, återkom om du fastnar! :)

Svara

Visa senaste svar