Optimering med bivillkor

Tjena behöver hjälp med följande:

Jag har suttit: f = xyz,      g = x + y + z = 1     och h = x^2 + y^2 +z^2 <= 1

Jag har hittat en punkt genom Lagranges multiplkations-nånting genom att se var f och g är parallella och denna punkt är (1/3, 1/3, 1/3) och är en kandidat som dessutom antar det största värdet för f. Men sen blir allt fel. 

Jag har försökt med Lagranges grej för att hitta mellan f och h men får felaktiga punkter. Har tagit reda på determinanten för f, g och h och suttit den lika med noll: 

$x{y}^2-y{x}^2-x{z}^2+y{z}^2+z{x}^2-z{y}^2=0$

Sedan tänker jag att jag skulle försöka lösa ut något ur detta mha de två bivillkoren som funktionerna g och h har men vet inte hur jag ska fortsätta med den krångliga determinanten som det är. Hur ska jag göra? 

Här är facit: 

Tacksam för svar