Optimering: Bestäm maximal area av triangel (envariabelanalys)

Hej!

Jag har kört fast på uppgift på uppgift 4.49 i "Övningar i Analys i en variabel". Uppgiften är som följer:

Sätt $f\left(x\right) =x{e}^{-x/2}$ där P är en punkt på kurvan $y = f\left(x\right)$ med x-kordinaten a, där $a>2$. Punkten där normalen i P skär x-axeln betecknas R. Slutligen är Q punkten (a, 0). Undersök om det finns något värde på a för vilken tringangeln PQR är maximal och bestäm detta i såfall.

Jag tror jag kommit en bit på vägen med sedan kört fast...

Jag tänker med att jag börjar med att få lutningen på tangenten till $y = f\left(x\right)$, dvs. $f\text{'}\left(x\right)$ vilket jag med kedjeregeln får till

$f\text{'}\left(x\right) = e^{-x/2}-\frac{x{e}^{-x/2}}{2}= e^{-x/2}(1-\frac{x}{2})$. Normalen skall då vara $-\frac{1}{f\text{'}\left(x\right)}$. Låt oss kalla denna $k$.

Med räta linjens ekvation har jag då att $y-f\left(a\right) = k(x-a)$. Om jag sätter y=0 torde jag kunna lösa ut x och få ett värde på punkten R. Jag får då följande

$-f\left(a\right) =kx-ka \to \frac{-f\left(a\right)+ka}{k} = x$

Basen av trinangeln torde vara Skillanden i x-led mellan punkt Q och R. Från uppgiften har jag att Q = (a, 0). Varvid basen torde bli

$a-\left(\frac{-f\left(a\right)+ka}{k}\right) = \frac{ak+f\left(a\right)-ak}{k}= \frac{f\left(a\right)}{k}$

Multiplicerat med höjden $f\left(a\right)$ har jag då arean som $(\frac{f\left(a\right)}{k}\times f(a\left)\right)/2$. Jag tänker att jag sedan ska ta derivatan av detta och hitta eventuella nolställen, men känner att uttrycket blir så snårigt att jag är osäker på om jag är på rätt väg.

Kanske kan jag få be om en knuff i rätt riktning?