Optimering, alla möjliga värden för volymen av tetraed, flervariabel

dfdfdf skrev:

Hej,

Har plottat ellipsoiden tillsammans med koordinatplanen samt ett tangentplan men vet fortfarande inte hur uppgiften ska lösas.  Tänker att ellipsoiden utgör randen.

Facit: Volymen antar alla värden $\ge \frac{\sqrt{2}}{4}$

Vad menar du med att ellipsoiden utgör randen? Ellipsoiden kommer helt och hållet att ligga inuti tetraedern, i en av oktanterna (den kommer att sticka ut åt de andra hållen, förstås). Har du hittat tetraedern man pratar om? Tre av sidorna är xy-planet, xz-planet och yz-planet, den fjärde sidan är tangentplanet. Tetraedern är inte regelbunden.

Smaragdalena skrev:

dfdfdf skrev:

Hej,

Har plottat ellipsoiden tillsammans med koordinatplanen samt ett tangentplan men vet fortfarande inte hur uppgiften ska lösas.  Tänker att ellipsoiden utgör randen.

Facit: Volymen antar alla värden $\ge \frac{\sqrt{2}}{4}$

Vad menar du med att ellipsoiden utgör randen? Ellipsoiden kommer helt och hållet att ligga inuti tetraedern, i en av oktanterna (den kommer att sticka ut åt de andra hållen, förstås). Har du hittat tetraedern man pratar om? Tre av sidorna är xy-planet, xz-planet och yz-planet, den fjärde sidan är tangentplanet. Tetraedern är inte regelbunden.

Förstår inte vart tetraeden finns. Vart har det blivit fel i plotten. 

I vilken punkt (i vilken kvadrant?) tangerar tangentplanet ellipsoiden?

Smaragdalena skrev:

I vilken punkt (i vilken kvadrant?) tangerar tangentplanet ellipsoiden?

1:a kvadranten? 

Hur fick du fram att det planet är ett tangentplan?

Hur vet man vilken punkt som ska användas för att hitta tangentplanet?

Men om någon vill ge mig lösningsmetoden/resonemanget så förstår jag enklare. 

Du skall ta fram ALLA möjliga volymer för tetraedern, så du behöver undersöka hela ellipsoid-oktanten på ett systematiskt sätt.

Ett tips är att parametrisera ellipsoiden.

$x=\sin \theta \cos \phi , y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta \sin \phi , z=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos \theta$.

Sedan gäller det att hitta en normal till tangentplanet som funktion av vinklarna $\theta , \phi$.

När man bestämt tangentplanet så kan man tänka igenom var detta plan skär koordinataxlarna och vad volymen på tetraedern som bildas blir (som funktion av vinklarna).

Ja, en del arbete blir det.

PATENTERAMERA skrev:

Ett tips är att parametrisera ellipsoiden.

$x=\sin \theta \cos \phi , y=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta \sin \phi , z=\frac{1}{\sqrt{3}}\cos \theta$.

Sedan gäller det att hitta en normal till tangentplanet som funktion av vinklarna $\theta , \phi$.

När man bestämt tangentplanet så kan man tänka igenom var detta plan skär koordinataxlarna och vad volymen på tetraedern som bildas blir (som funktion av vinklarna).

Ja, en del arbete blir det.

Har tänkt lite och kommit fram till följande process för att ta fram tangentplanet. Ser det ok ut?

1. Parametriserar ellipsoiden. Efter parametriseringen får vi punkten P.

2. Sedan beräkna gradienten av ellipsiodens ekvation.

3. Sätt in den parametriserade punkten P i gradienten. Då får vi en vektor som är en normalvektor till tangentplanet i P. 

4. Normalvektorn kan användas för att bestämma tangentplanet.

Ser ut som en plan.