Optimera kompakt område

När man funderar över ett flervariabelanalysproblem är det ofta bra att kunna dra paralleller till envariabelfallet. Säg att vi skall hitta största och minsta värde för funktionen $x^3-9x^2+25x-19$ på intervallet $[1,5]$. Då ser grafen ut så här:

Märk att även fast funktionen har både en lokal maxpunkt antas dess minsta värde i kanten av intervallet. Det är alltså inte nödvändigt att det största respektive minsta värdet är en stationär punkt om det ligger på kanten av definitionsmängden.

I flervariabelfallet fungerar det på samma sätt. Funktionens största värde på området behöver inte vara en stationär punkt om det ligger på kanten (randen) av definitionsmängden. Skillnaden är att randen innefattar en kurva av punkter i fallet av en tvåvariabelfunktion, medans i envariabelfallet är den bara två punkter. Märk hur största och minsta värde för din funktion ligger på randen av området:

Randen kan parametriseras med bara en variabel. Det kan mycket väl finnas stationära punkter på randen.

Hej!

• Stationära punkter till funktionen $f\,:\, D \to \mathbb{R}$ finns (om de existerar) i det inre $D^{\circ}$ av funktionens kompakta definitionsmängd $D$.
• En stationär punkt är ett nollställe till funktionens gradientfält $\nabla f\,:\,D^{\circ} \to \mathbb{R}^2$.
• Globala extrempunkter till funktionen $f$ ligger antingen i det inre av $D$ eller på randen till $D$.
• Notera att en stationär punkt endast motsvarar en lokal extrempunkt; huruvida den även är en global extrempunkt måste undersökas separat; för detta ändamål räcker det inte att studera nollställen till vektorfältet $\nabla f$.

Tack så mycket för svaren!

Nu lossnade det. (: