Optimera hängränna

Hej,

jag försökte lösa detta problem: "Ossian vill bygga en ny hängränna från en 30 cm bred plåt. Han böjer plåten till en ränna med ett tvärsnitt som ser ut som figuren till höger. Hur ska Ossian välja vinkeln θ så att tvärsnittsarean blir så stor som möjligt?" Bilden som gavs:

Min lösning:

Förstår att vinkeln ej kan vara ett negativt värde och min min.punkt därav inte stämmer. Men intuitivt känns det som att det ska gå att lösa uppgiften på detta sätt. Kan jag tänka såhär eller behöver jag använda annan metod?

Problemet diskutera i en annan tråd

https://www.pluggakuten.se/trad/optimering-55/

Hej,

Tvärsnittet är ett parallelltrapets vars area bestäms av vinkeln $\theta$ enligt formeln

$\displaystyle A(\theta) = \frac{h(\theta)\cdot \{10+10+2b(\theta)\}}{2}=h(\theta)\cdot(10+b(\theta))$

där $h(\theta)=10\cos(\theta-\frac{\pi}{2})$ och $b(\theta)=10\sin(\theta-\frac{\pi}{2})$ och $\pi/3<\theta<\pi$ ; notera att då $\theta=\pi/3$ blir tvärsnittet en liksidig triangel, vilket inte är tillåtet.

Produkten $h(\theta)b(\theta)$ kan skrivas $50\sin(2\theta-\pi)$ via Sinus-för-dubbla-vinkeln så att tvärsnittets area skrivs

$A(\theta)=100\cos(\theta-\frac{\pi}{2})+50\sin(2\theta-\pi)=100\sin\theta-50\sin2\theta.$

Med kvadratkomplettering kan derivatan skrivas

$A^\prime(\theta)=100(\cos\theta-\cos2\theta)=200(\frac{7}{16}-(\cos\theta-\frac{1}{4})^2)$

och med Konjugatregeln faktoriseras till

$A^\prime(\theta)=200(\frac{\sqrt{7}+1}{4}-\cos\theta)\cdot(\frac{\sqrt{7}-1}{4}+\cos\theta).$

Faktoriseringen visar för vilka vinklar tvärsnittsarean ökar, minskar och har sitt största värde.

Svara