Öppna slutna mängder, kompakthet, flervariabel

Hej,

Uppgift:

A) Vet inte vad man ska titta på riktigt. Men Tänkte att det kunde bero på att ena mängden är i R1 medans andra i R2,

B) Enligt proposition "snittet av varje ändlig familj av öppna mängder är öppet", men vet inte hur jag ska gå vidare

a) ÄNDLIG union av slutna mängder är alltid sluten, men denna union är inte ändlig och mycket riktigt så saknas randpunkten origo här.

b) Förslag: Betrakta komplementen till H_n i uppgift a.

Tomten skrev:
a) ÄNDLIG union av slutna mängder är alltid sluten, men denna union är inte ändlig och mycket riktigt så saknas randpunkten origo här.

b) Förslag: Betrakta komplementen till H_n i uppgift a.

Tackar.

Om vi använder samma mängd H_n fast byter olikhetstecken till <, funkar det?

Tankar:

Då blir varje mängd öppen. Pga att randen för varje mängd i familjen är en delmängd av komplementet.

Sen när n går mot oändligheten så kommer randpunkten, (0,0), saknas. Vilket innebär att den inte kan vara en delmängd av komplementet och således är den inte öppen.

Visa först att $(0, 0) \notin \underset{n}{\cup} H_{n}$ . Visa sedan att (0, 0) är en randpunkt till $\underset{n}{\cup} H_{n}$ .

Eftersom $\underset{n}{\cup} H_{n}$ inte innehåller alla sina randpunkter så är denna mängd inte sluten.

${(H_{n})}^{C} = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 / n\}$ .

PATENTERAMERA skrev:
a)

Visa först att $(0, 0) \notin \underset{n}{\cup} H_{n}$ . Visa sedan att (0, 0) är en randpunkt till $\underset{n}{\cup} H_{n}$ .

Eftersom $\underset{n}{\cup} H_{n}$ inte innehåller alla sina randpunkter så är denna mängd inte sluten.

b)

${(H_{n})}^{C} = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 / n\}$ .

a) Hänger inte riktigt med, om vi visar att (0,0) är en randpunkt till mängden, hur kan vi säga att den inte innehåller randpunkten?

b) Sådär ja. Tänkte så, glömde vända olikhetstecknet.

a) En mängd är sluten om och endast om mängden innehåller alla sina randpunkter. Om det finns åtminstone en randpunkt till mängden som inte ingår i mängden så är mängden inte sluten.

Vi kallar unionen av H_n för H. Origo ligger inte i någon av dina H_n. Då ligger den inte i H, men varje omgivning till origo innehåller en punkt ur H. Då säger definitionen att origo är en randpunkt till H.

Är din andra mening en förklaring till a eller ett försök till lösning på b?

Om du utgår från PATENTAMERAS exakta formulering av komplementen till H_n - kan du avgöra om origo tillhör alla dessa komplementen? Kan du säga något om vad som finns i snittet av komplementen ?

dfdfdf skrev:
PATENTERAMERA skrev:
a)

Visa först att $(0, 0) \notin \underset{n}{\cup} H_{n}$ . Visa sedan att (0, 0) är en randpunkt till $\underset{n}{\cup} H_{n}$ .

Eftersom $\underset{n}{\cup} H_{n}$ inte innehåller alla sina randpunkter så är denna mängd inte sluten.

b)

${(H_{n})}^{C} = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 / n\}$ .

a) Hänger inte riktigt med, om vi visar att (0,0) är en randpunkt till mängden, hur kan vi säga att den inte innehåller randpunkten?

b) Sådär ja. Tänkte så, glömde vända olikhetstecknet.

En mängd behöver inte innehålla sina randpunkter, om det var det du trodde.

Ta tex den öppna ”bollen” B = $\{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1\}$ . Punkten (0, 1) är en randpunkt till B men den är inte ett element i B.

PATENTERAMERA skrev:
a)

Visa först att $(0, 0) \notin \underset{n}{\cup} H_{n}$ . Visa sedan att (0, 0) är en randpunkt till $\underset{n}{\cup} H_{n}$ .

Eftersom $\underset{n}{\cup} H_{n}$ inte innehåller alla sina randpunkter så är denna mängd inte sluten.

b)

${(H_{n})}^{C} = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 / n\}$ .

Hänger med nu.

Svara

Visa senaste svar